Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: (x2−y) dx+x(y+1) dy=0.
Решение
Преобразуем уравнение:
x(x dx+y dy)+x dy−y dx=0
12x d(x2+y2)+x2d(yx)=0
Разделив уравнение на x (x=0 является решением), получим:
d(x2+y2)+2x d(yx)=0
Произведем замену u=x2+y2; v=yx.
Так как y=vx, то:
u=x2(1+v2) ⇒ x2=u1+v2 ⇒ x=√u1+v2
Получаем:
du+2√u1+v2 dv=0
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, получим:
12√udu=−1√1+v2dv
∫12√udu=−∫1√1+v2dv
√u=−ln(v+√v2+1)+C
Произведем обратную замену u=x2+y2; v=yx.
√x2+y2=−ln(yx+√y2x2+1)+C
Таким образом, решение исходного уравнения:
√x2+y2+ln(yx+√y2x2+1)=C; x=0.
Комментариев нет:
Отправить комментарий