Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Задача 219. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: (x2y) dx+x(y+1) dy=0.

Решение
Преобразуем уравнение:
x(x dx+y dy)+x dyy dx=0
12x d(x2+y2)+x2d(yx)=0
Разделив уравнение на x (x=0 является решением), получим:
d(x2+y2)+2x d(yx)=0
Произведем замену u=x2+y2; v=yx
Так как y=vx, то:
u=x2(1+v2)  x2=u1+v2  x=u1+v2
Получаем:
du+2u1+v2 dv=0

Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, получим:
12udu=11+v2dv
12udu=11+v2dv
u=ln(v+v2+1)+C

Произведем обратную замену u=x2+y2; v=yx
x2+y2=ln(yx+y2x2+1)+C

Таким образом, решение исходного уравнения:
x2+y2+ln(yx+y2x2+1)=C; x=0.

Комментариев нет:

Отправить комментарий