Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: \((x^2-y) \ dx + x(y+1) \ dy=0\).
Решение
Преобразуем уравнение:
\[x(x \ dx+y \ dy)+x \ dy-y \ dx=0\]
\[\frac{1}{2}x \ d(x^2+y^2)+x^2d\left(\frac{y}{x}\right)=0\]
Разделив уравнение на \(x\) (\(x=0\) является решением), получим:
\[d(x^2+y^2)+2x \ d\left(\frac{y}{x}\right)=0\]
Произведем замену \(u=x^2+y^2; \ v=\dfrac{y}{x}\).
Так как \(y=vx\), то:
\[u=x^2(1+v^2) \ \Rightarrow \ x^2=\frac{u}{1+v^2} \ \Rightarrow \ x=\sqrt{\frac{u}{1+v^2}} \]
Получаем:
\[du+2\sqrt{\frac{u}{1+v^2}}\ dv=0\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, получим:
\[\frac{1}{2 \sqrt{u}}du=-\frac{1}{\sqrt{{1+v^2}}}dv\]
\[\int \frac{1}{2 \sqrt{u}}du=-\int \frac{1}{\sqrt{{1+v^2}}}dv\]
\[\sqrt{u}=-\ln \left(v+\sqrt{v^2+1}\right)+ C\]
Произведем обратную замену \(u=x^2+y^2; \ v=\dfrac{y}{x}\).
\[\sqrt{x^2+y^2}=-\ln \left(\dfrac{y}{x}+\sqrt{\dfrac{y^2}{x^2}+1}\right)+ C\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[\sqrt{x^2+y^2}+\ln \left(\dfrac{y}{x}+\sqrt{\dfrac{y^2}{x^2}+1}\right)= C; \ x=0.\]
Комментариев нет:
Отправить комментарий