Изоклины дифференциального уравнения

Изоклиной дифференциального уравнения \(y'=f(x,y)\) является геометрическое место точек плоскости \((x,y)\), в которых касательные к интегральным кривым имеют одинаковый наклон, то есть выполняется соотношение \(y'=k\), где \(k\) - постоянная.

Очевидно, уравнение изоклины соответствующей определенному значению \(k\):
\[f(x,y)=k.\]
На практике, изоклины используются для приближенного построения семейства интегральных кривых дифференциальных уравнений. Что позволяет даже для не интегрируемых явно дифференциальных уравнений выявить характер интегральных кривых.

Обычно при построении интегральных кривых достаточно построить несколько изоклин для \(k=0,\pm 1, \pm2\), но в некоторых случаях придется строить дополнительные изоклины и подбирать необходимое значение \(k\).

Пример. C помощью изоклин начертить (приближенно) решения уравнения \(y'=y-x^2\).
Для получения уравнения изоклин положим \(y′=const=k\).
Тогда \(y-x^2=k\) или \(y=x^2+k\). Изоклинами являются параболы.

Составим таблицу:

\(k\)	-3	-2	-1	0	1	2	3
Уравнение изоклины	\(y=x^2-3\)	\(y=x^2-2\)	\(y=x^2-1\)	\(y=x^2\)	\(y=x^2+1\)	\(y=x^2+2\)	\(y=x^2+3\)
Угол наклона (градусы)	-71.57	-63.43	-45.00	0.00	45.00	63.43	71.57

Построим семейство парабол для значений \(k\) равных \(-3, -2,-1, 0,1,2,3\), отметим на параболах направления задаваемые параметром \(k\) и построим интегральные кривые: