Изогональные траектории

Линию, пересекающую под определенным углом \(\varphi \neq 90^o\) каждую из кривых данного однопараметрического семейства \(\Phi(x,y,C)=0\) (дифференциальное уравнение данного семейства кривых имеет вид \(F(x,y,y')=0\)), называют изогональной траекторией этого семейства. Изогональные траектории данного семейства кривых образуют новое семейство линий.

В случае ортогональных траекторий, имеется всего одно семейство кривых. Но если \(\varphi \neq 90^o\), то можно построить два семейства кривых, в зависимости от того, как отсчитывать угол \(\varphi\) (от исходной кривой к изогональной или наоборот).

Изогональные траектории находятся аналогично ортогональным, но в случае изогональных траекторий производные связаны следующим образом:
\[\frac{y_{изог}'-y'}{1+y'y_{изог}'}=\tan \varphi,\]
где \(\varphi\) отсчитывается от исходной кривой к изогональной кривой.
\[\frac{y'-y_{изог}'}{1+y'y_{изог}'}=\tan \varphi,\]где \(\varphi\) отсчитывается от изогональной кривой к исходной кривой.

Эти соотношения можно объединить в одно:
\[y_{изог}'=\frac{y'\pm \tan \varphi}{1 \mp y' \tan \varphi}\]
Соответственно уравнение изогональных траекторий будет иметь вид:
\[F(x,y,\dfrac{y'\pm \tan \varphi}{1 \mp y' \tan \varphi})=0.\]
Итак, чтобы найти уравнение семейства изогональных траекторий для данного однопараметрического семейства плоских кривых, нужно:
1) написать дифференциальное уравнение данного семейства кривых;
2) заменить в этом уравнении \(y'\) на \(\dfrac{y'\pm \tan \varphi}{1 \mp y' \tan \varphi}\);
3) найти общее решение получившегося дифференциального уравнения.

При решении задач на нахождение изогональных траекторий обычно пользуются формулами для каждого отдельного семейства изогональных траекторий, или находят только одно уравнение:
\[F(x,y,\dfrac{y'- \tan \varphi}{1 + y' \tan \varphi})=0.\]

Пример. Составить дифференциальное уравнение изогональных траекторий, пересекающих семейство линий \(x^2+y^2=a^2\) под углом \(\varphi=45^o\).
1. Найдем уравнение траекторий для которых где \(\varphi\) отсчитывается от исходной кривой к искомой кривой:
\[\frac{y_1'-y'}{1+y'y_1'}=\tan \varphi\]
\[\frac{y_1'+\dfrac{x}{y}}{1-\dfrac{x}{y}y_1'}=1\]
Упрощая, получим:
\[y_1'=\frac{y-x}{y+x}\]
2. Найдем уравнение траекторий для которых где \(\varphi\) отсчитывается от искомой кривой к исходной кривой:
\[\frac{y'-y_2'}{1+y'y_2'}=\tan \varphi\]
\[\frac{-\dfrac{x}{y}-y_2'}{1-\dfrac{x}{y}y_2'}=1\]
Упрощая, получим:

\[y_2'=\frac{y+x}{x-y}\]
Таким образом, дифференциальные уравнения изогональных траекторий, пересекающих исходное семейство линий под углом \(\varphi=45^o\) имеют вид:
\[y'=\frac{y-x}{y+x}; \ y'=\frac{y+x}{x-y}.\]
Результат построения семейства кривых и двух семейств изогональных траекторий: