В случае ортогональных траекторий, имеется всего одно семейство кривых. Но если φ≠90o, то можно построить два семейства кривых, в зависимости от того, как отсчитывать угол φ (от исходной кривой к изогональной или наоборот).
Изогональные траектории находятся аналогично ортогональным, но в случае изогональных траекторий производные связаны следующим образом:
y′изог−y′1+y′y′изог=tanφ,
где φ отсчитывается от исходной кривой к изогональной кривой.
y′−y′изог1+y′y′изог=tanφ,
где φ отсчитывается от изогональной кривой к исходной кривой.
Эти соотношения можно объединить в одно:
y′изог=y′±tanφ1∓y′tanφ
Соответственно уравнение изогональных траекторий будет иметь вид:
F(x,y,y′±tanφ1∓y′tanφ)=0.
Итак, чтобы найти уравнение семейства изогональных траекторий для данного однопараметрического семейства плоских кривых, нужно:
1) написать дифференциальное уравнение данного семейства кривых;
2) заменить в этом уравнении y′ на y′±tanφ1∓y′tanφ;
3) найти общее решение получившегося дифференциального уравнения.
При решении задач на нахождение изогональных траекторий обычно пользуются формулами для каждого отдельного семейства изогональных траекторий, или находят только одно уравнение:
F(x,y,y′−tanφ1+y′tanφ)=0.
Пример. Составить дифференциальное уравнение изогональных траекторий, пересекающих семейство линий x2+y2=a2 под углом φ=45o.
1. Найдем уравнение траекторий для которых где φ отсчитывается от исходной кривой к искомой кривой:
y′1−y′1+y′y′1=tanφ
y′1+xy1−xyy′1=1
Упрощая, получим:
y′1=y−xy+x
2. Найдем уравнение траекторий для которых где φ отсчитывается от искомой кривой к исходной кривой:
y′−y′21+y′y′2=tanφ
−xy−y′21−xyy′2=1
Упрощая, получим:
y′2=y+xx−y
Таким образом, дифференциальные уравнения изогональных траекторий, пересекающих исходное семейство линий под углом φ=45o имеют вид:
y′=y−xy+x; y′=y+xx−y.
Результат построения семейства кривых и двух семейств изогональных траекторий:
Комментариев нет:
Отправить комментарий