Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Изогональные траектории

Линию, пересекающую под определенным углом φ90o каждую из кривых данного однопараметрического семейства Φ(x,y,C)=0 (дифференциальное уравнение данного семейства кривых имеет вид F(x,y,y)=0), называют изогональной траекторией этого семейства. Изогональные траектории данного семейства кривых образуют новое семейство линий.

В случае ортогональных траекторий, имеется всего одно семейство кривых. Но если φ90o, то можно построить два семейства кривых, в зависимости от того, как отсчитывать угол φ (от исходной кривой к изогональной или наоборот).

Изогональные траектории находятся аналогично ортогональным, но в случае изогональных траекторий производные связаны следующим образом:
yизогy1+yyизог=tanφ,
где φ отсчитывается от исходной кривой к изогональной кривой.
yyизог1+yyизог=tanφ,где φ отсчитывается от изогональной кривой к исходной кривой.

Эти соотношения можно объединить в одно:
yизог=y±tanφ1ytanφ
Соответственно уравнение изогональных траекторий будет иметь вид:
F(x,y,y±tanφ1ytanφ)=0.
Итак, чтобы найти уравнение семейства изогональных траекторий для данного однопараметрического семейства плоских кривых, нужно:
1) написать дифференциальное уравнение данного семейства кривых;
2) заменить в этом уравнении y на y±tanφ1ytanφ;
3) найти общее решение получившегося дифференциального уравнения.

При решении задач на нахождение изогональных траекторий обычно пользуются формулами для каждого отдельного семейства изогональных траекторий, или находят только одно уравнение:
F(x,y,ytanφ1+ytanφ)=0.

Пример. Составить дифференциальное уравнение изогональных траекторий, пересекающих семейство линий x2+y2=a2 под углом φ=45o.
1. Найдем уравнение траекторий для которых где φ отсчитывается от исходной кривой к искомой кривой:
y1y1+yy1=tanφ
y1+xy1xyy1=1
Упрощая, получим:
y1=yxy+x
2. Найдем уравнение траекторий для которых где φ отсчитывается от искомой кривой к исходной кривой:
yy21+yy2=tanφ
xyy21xyy2=1
Упрощая, получим:

y2=y+xxy
Таким образом, дифференциальные уравнения изогональных траекторий, пересекающих исходное семейство линий под углом φ=45o имеют вид:
y=yxy+x; y=y+xxy.
Результат построения семейства кривых и двух семейств изогональных траекторий:
Изогональные траектории

Комментариев нет:

Отправить комментарий