Уравнения в полных дифференциалах

Уравнение $M(x,y) \ dx +N(x,y) \ dy = 0$ называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции $F(x,y)$. 

Соответственно, уравнение может быть записано в виде: 

$$dF(x,y)=0.$$

Это возможно, если $\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}$.

Чтобы решить уравнение в полных дифференциалах, нужно найти функцию $F(x,y)$, полный дифференциал которой $dF(x,y) = F'_x \ dx + F'_y \ dy$ равен левой части уравнения. То есть такую, для которой $M(x,y)=F'_x$ и $N(x,y)=F'_y$. 

Тогда общее решение уравнения можно написать в виде $F(x,y)=C$, где $C$ это произвольная постоянная.

Пример 1. Рассмотрим уравнение $(2x+3x^2y) \ dx+(x^3-3y^2) \ dy=0$.

Проверим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах.

$$M(x,y) =2x+3x^2y, \ N(x,y)=x^3-3y^2$$

$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2x+3x^2y)=3x^2$$

$$\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^3-3y^2)=3x^2$$

Получаем $\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}$, следовательно исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Найдем функцию $F(x,y)$, полный дифференциал которой $dF(x,y) = F'_x \ dx + F'_y \ dy$ был бы равен левой части уравнения, то есть такую функцию $F(x,y)$, что:

$$F'_x=2x+3x^2y, \ F'_y=x^3-3y^2$$

Интегрируем $F'_x$ по $x$, считая $y$ постоянным:

$$F=\int (2x+3x^2y) \ dx=x^2+x^3y+f(y)$$

Где $f(y)$ — неизвестная функция от $y$. 

Дифференцируем полученное выражение для $F$ по $y$ :

$$F'_y=\left( x^2+x^3y+f(y)\right)'_y=x^3+f'(y)$$

Так как $F'_y=x^3-3y^2$, получаем:

$$x^3+f'(y)=x^3-3y^2$$

$$f'(y)=-3y^2$$

$$f(y)=-y^3+const$$

Получаем $F(x,y)=x^2+x^3y-y^3$, и общее решение исходного уравнения имеет вид:

$$x^2+x^3y-y^3=C.$$

Уравнения приводимые к уравнению в полных дифференциалах

Интегрирующий множитель

Интегрирующим множителем для уравнения $M(x,y) \ dx +N(x,y) \ dy = 0$ называется такая функция $m(x,y)$, после умножения на которую уравнение преобразуется в уравнение в полных дифференциалах.

Если функции $M(x,y)$ и $N(x,y)$ имеют непрерывные частные производные и не обращаются в нуль одновременно, то интегрирующий множитель существует. Однако нет общего метода для его отыскания.

Для решения некоторых уравнений можно применять метод выделения полных дифференциалов, используя известные формулы:

$$d(xy)=y \ dx+x\ dy, \ d\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{y\ dx-x\ dy}{y^2}, \ d(\ln y)=\frac{dy}{y}$$

И прочие формулы.

Пример 2. Рассмотрим уравнение $y\ dx-(4x^2y+x)\ dy=0$.

Сначала выделяем группу членов, представляющую собой полный дифференциал. Так как $y\ dx-x\ dy=-x^2d(y/x)$, то, разделив уравнение на $-x^2$ ($x = 0$ является решением), получим:

$$d \left(\frac{y}{x}\right)+4y \ dy=0$$

$$d \left(\frac{y}{x}\right)+  d(2y^2)=0$$

$$d \left(\frac{y}{x}+  2y^2\right)=0$$

Это уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Соответственно, получаем решение этого уравнения:

$$\frac{y}{x}+  2y^2=C; x=0.$$

В данном случае интегрирующим множителем является функция $m(x,y)=-\dfrac{1}{x^2}$.

Замена переменных

Если в уравнении $M(x,y) \ dx +N(x,y) \ dy = 0$ можно выделить полный дифференциал некоторой функции $\varphi(x,y)$, то иногда уравнение упрощается, если от переменных $(x, y)$ перейти к переменным $(x, z)$ или $(y, z)$, где $z = \varphi(x,y)$ .

Пример 3. Рассмотрим уравнение $y \ dx - (x^3y+x) \ dy=0$.

Сначала выделяем группу членов, представляющую собой полный дифференциал. Так как $y\ dx-x\ dy=-x^2d(y/x)$, то, разделив уравнение на $-x^2$, получим:

$$d \left(\frac{y}{x}\right)+xy \ dy=0$$

Перейдя к переменным $z = y/x$ и $y$, получим уравнение, которое легко можно решить:

$$dz+\frac{y^2}{z}dy=0.$$

Пример 4.  Рассмотрим уравнение $(xy+y^4)\ dx+(x^2-xy^3)\ dy = 0$.

Сгруппируем члены так, чтобы выделить полные дифференциалы:

$$x(y \ dx+x \ dy)+y^3(y \ dx-x \ dy)=0$$

$$x\ d(xy)+y^5\ d\left(\frac{x}{y}\right)=0$$

Перейдя к переменным $u=xy$ и $v=x/y$, получим уравнение, которое легко можно решить:

$$du+\frac{u^2}{v^3}dv=0.$$