Интегрирующий множитель для уравнений в полных дифференциалах

Уравнение $M(x,y) \ dx +N(x,y) \ dy = 0$ называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции $F(x,y)$. 

Соответственно, уравнение может быть записано в виде: 

$$dF(x,y)=0.$$

Это возможно, если $\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}$.

Если

$$\frac{{\partial M}}{{\partial y}} \ne \frac{{\partial N}}{{\partial x}},$$

то уравнение не будет являться уравнением в полных дифференциалах. 

Но, можно попробовать подобрать интегрирующий множитель, функцию $\mu(x,y)$, такую, что после умножения на нее дифференциальное уравнение преобразуется в уравнение в полных дифференциалах. В таком случае справедливо равенство:

$$\dfrac{\partial (\mu M)}{\partial y}=\dfrac{\partial (\mu N)}{\partial x}.$$

В развернутом виде:

$$\frac{\partial \mu}{\partial y} M+\mu \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial \mu}{\partial x} N+\frac{\partial N}{\partial x} \mu$$

Это равенство можно привести к виду:

$$\frac{\partial \ln \mu}{\partial y} M-\frac{\partial \ln \mu}{\partial x} N=\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}$$

В общем случае интегрирование этого уравнения в частных производных является задачей отнюдь не более простой, чем интегрирование исходного уравнения, однако в некоторых случаях подбор какого либо частного решения уравнения не представляет затруднений. 

Рассматривая варианты, когда интегрирующий множитель является функцией только одного аргумента (например, является функцией только $x+y$ или только $x^2+y^2$, или функцией только $x$, или только $y$ и т. д.), можно уже без труда проинтегрировать это уравнение и указать условия, при которых интегрирующий множитель рассматриваемого вида существует. Тем самым выделяются классы уравнений, для которых интегрирующий множитель легко может быть найден. 

1. Интегрирующий множитель зависит только от $x$, $\mu=\mu(x)$. 

В этом случае $\dfrac{{\partial \mu }}{{\partial y}}=0$, и уравнение принимает вид:

$$-\frac{\partial \ln \mu}{\partial x} N=\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}$$

Обозначим Q как:

$$Q=\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}$$

Получаем:

$$\ln \mu=\int Q \ dx+\ln C$$

$$\mu=C e^{\int Q d x}$$

Можно считать $C=1$, так как достаточно иметь лишь один интегрирующий множитель.

Таким образом, если $Q$ является функцией только $x$, то интегрирующий множитель, зависящий лишь от $x$, существует, в противном случае интегрирующего множителя вида $\mu(x)$ не существует. 

2. Интегрирующий множитель зависит только от $y$, $\mu=\mu(y)$. 

В данном случае:

$$Q=-\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{M}$$

Соответственно получаем:

$$\ln \mu=\int Q \ dy+\ln C$$

$$\mu=C e^{\int Q dy}$$

Если $Q$ является функцией только $y$, то интегрирующий множитель, зависящий лишь от $y$, существует, в противном случае интегрирующего множителя вида $\mu(y)$ не существует. 

3. Аналогично проверяются условия существования интегрирующих множителей вида $\mu(x\pm y)$, $\mu(x^2\pm y^2)$ , $\mu(xy)$  и т.д. В данном случае интегрирующий множитель является некоторой функцией одной переменной $z$ ($z=x\pm y$, $z=x^2\pm y^2$, $z=xy$ и т.д.).

$$Q=\frac{{\frac{{\partial M}}{{\partial y}} - \frac{{\partial N}}{{\partial x}}}}{{N\frac{{\partial z}}{{\partial x}} - M\frac{{\partial z}}{{\partial y}}}}$$

$$\mu=C e^{\int Q dz}$$

Если $Q$ является функцией от $z$, то интегрирующий множитель существует. 

Пример 1. Проверить, имеет ли уравнение $x \ dx+y \ dy + x\ dy-y \ dx=0$ интегрирующий множитель вида $\mu=\mu(x^2+y^2)$.

$$M(x,y) =x-y , \ N(x,y)=y+x$$

$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x-y)=-1$$

$$\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(y+x)=1$$

Получаем $\dfrac{\partial M}{\partial y}\ne\dfrac{\partial N}{\partial x}$, yравнение не является уравнением в полных дифференциалах.

Обозначим $z=x^2+y^2$. Получаем:

$$\frac{{\partial z}}{{\partial x}}=2x; \ \frac{{\partial z}}{{\partial y}}=2y.$$

Соответственно:

$$Q=\frac{{\frac{{\partial M}}{{\partial y}} - \frac{{\partial N}}{{\partial x}}}}{{N\frac{{\partial z}}{{\partial x}} - M\frac{{\partial z}}{{\partial y}}}}=\frac{2}{2x(y+x)-2y(x-y)}=-\frac{1}{x^2+y^2}=-\frac{1}{z}$$

Так как $Q$ является функцией от $z$, то интегрирующий множитель существует и равен:

$$\mu=C e^{\int Q dz}=C e^{-\int \frac{1}{z} dz}=C\frac{1}{z}$$

При $C=1$ получаем интегрирующий множитель:

$$\mu=\frac{1}{z}=\frac{1}{x^2+y^2}.$$