Интегрирующий множитель для уравнений в полных дифференциалах

Уравнение \(M(x,y) \ dx +N(x,y) \ dy = 0\) называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции \(F(x,y)\). 

Соответственно, уравнение может быть записано в виде: 

\[dF(x,y)=0.\]

Это возможно, если \(\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}\).

Если

\[\frac{{\partial M}}{{\partial y}} \ne \frac{{\partial N}}{{\partial x}},\]

то уравнение не будет являться уравнением в полных дифференциалах. 

Но, можно попробовать подобрать интегрирующий множитель, функцию \(\mu(x,y)\), такую, что после умножения на нее дифференциальное уравнение преобразуется в уравнение в полных дифференциалах. В таком случае справедливо равенство:

\[\dfrac{\partial (\mu M)}{\partial y}=\dfrac{\partial (\mu N)}{\partial x}.\]

В развернутом виде:

\[\frac{\partial \mu}{\partial y} M+\mu \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial \mu}{\partial x} N+\frac{\partial N}{\partial x} \mu\]

Это равенство можно привести к виду:

\[\frac{\partial \ln \mu}{\partial y} M-\frac{\partial \ln \mu}{\partial x} N=\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\]

В общем случае интегрирование этого уравнения в частных производных является задачей отнюдь не более простой, чем интегрирование исходного уравнения, однако в некоторых случаях подбор какого либо частного решения уравнения не представляет затруднений. 

Рассматривая варианты, когда интегрирующий множитель является функцией только одного аргумента (например, является функцией только \(x+y\) или только \(x^2+y^2\), или функцией только \(x\), или только \(y\) и т. д.), можно уже без труда проинтегрировать это уравнение и указать условия, при которых интегрирующий множитель рассматриваемого вида существует. Тем самым выделяются классы уравнений, для которых интегрирующий множитель легко может быть найден. 

1. Интегрирующий множитель зависит только от \(x\), \(\mu=\mu(x)\). 

В этом случае \( \dfrac{{\partial \mu }}{{\partial y}}=0\), и уравнение принимает вид:

\[-\frac{\partial \ln \mu}{\partial x} N=\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\]

Обозначим Q как:

\[Q=\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}\]

Получаем:

\[\ln \mu=\int Q \ dx+\ln C\]

\[\mu=C e^{\int Q d x}\]

Можно считать \(C=1\), так как достаточно иметь лишь один интегрирующий множитель.

Таким образом, если \(Q\) является функцией только \(x\), то интегрирующий множитель, зависящий лишь от \(x\), существует, в противном случае интегрирующего множителя вида \(\mu(x)\) не существует. 

2. Интегрирующий множитель зависит только от \(y\), \(\mu=\mu(y)\). 

В данном случае:

\[Q=-\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{M}\]

Соответственно получаем:

\[\ln \mu=\int Q \ dy+\ln C\]

\[\mu=C e^{\int Q dy}\]

Если \(Q\) является функцией только \(y\), то интегрирующий множитель, зависящий лишь от \(y\), существует, в противном случае интегрирующего множителя вида \(\mu(y)\) не существует. 

3. Аналогично проверяются условия существования интегрирующих множителей вида \(\mu(x\pm y) \), \(\mu(x^2\pm y^2)\) , \(\mu(xy)\)  и т.д. В данном случае интегрирующий множитель является некоторой функцией одной переменной \(z\) (\(z=x\pm y\), \(z=x^2\pm y^2\), \(z=xy\) и т.д.).

\[Q=\frac{{\frac{{\partial M}}{{\partial y}} - \frac{{\partial N}}{{\partial x}}}}{{N\frac{{\partial z}}{{\partial x}} - M\frac{{\partial z}}{{\partial y}}}}\]

\[\mu=C e^{\int Q dz}\]

Если \(Q\) является функцией от \(z\), то интегрирующий множитель существует. 

Пример 1. Проверить, имеет ли уравнение \(x \ dx+y \ dy + x\ dy-y \ dx=0\) интегрирующий множитель вида \(\mu=\mu(x^2+y^2)\).

\[M(x,y) =x-y , \ N(x,y)=y+x\]

\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x-y)=-1\]

\[\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(y+x)=1\]

Получаем \(\dfrac{\partial M}{\partial y}\ne\dfrac{\partial N}{\partial x}\), yравнение не является уравнением в полных дифференциалах.

Обозначим \(z=x^2+y^2\). Получаем:

\[\frac{{\partial z}}{{\partial x}}=2x; \ \frac{{\partial z}}{{\partial y}}=2y.\]

Соответственно:

\[Q=\frac{{\frac{{\partial M}}{{\partial y}} - \frac{{\partial N}}{{\partial x}}}}{{N\frac{{\partial z}}{{\partial x}} - M\frac{{\partial z}}{{\partial y}}}}=\frac{2}{2x(y+x)-2y(x-y)}=-\frac{1}{x^2+y^2}=-\frac{1}{z}\]

Так как \(Q\) является функцией от \(z\), то интегрирующий множитель существует и равен:

\[\mu=C e^{\int Q dz}=C e^{-\int \frac{1}{z} dz}=C\frac{1}{z}\]

При \(C=1\) получаем интегрирующий множитель:

\[\mu=\frac{1}{z}=\frac{1}{x^2+y^2}.\]