Задача 209. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: $x^2y(y \ dx+x \ dy)=2y \ dx+x \ dy$.

Решение

Умножим уравнение на $x$:

$$x^2y(xy \ dx+x^2 \ dy)=2xy \ dx+x^2 \ dy$$

Преобразуем уравнение выделяя полный дифференциал $d(x^2y)=2xy \ dx+x^2 \ dy$:

$$-x^3y^2\ dx+  x^2y\ d(x^2y)= d(x^2y)$$

Произведем замену $u=x^2y$:

$$-\frac{u^2}{x}\ dx+u\ du=du$$

Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, получим:

$$\frac{u-1}{u^2}du=\frac{1}{x} \ dx$$

$$\int \frac{u-1}{u^2}du=\int \frac{1}{x} \ dx$$

$$\ln |u|+\frac{1}{u}+\ln C=\ln|x|$$

$$\ln \frac{Cu}{x}=-\frac{1}{u}$$

При делении могли быть потеряны решения $x=0$ и $y=0$. Очевидно,  $x=0$ и $y=0$ являются решениями.

Произведем обратную замену $u=x^2y$:

$$\ln Cxy=-\frac{1}{x^2y}$$

$$x^2y\ln Cxy=-1$$

Таким образом, решение исходного уравнения:

$$x^2y\ln Cxy=-1; \ x=0; \ y=0.$$