Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: \(x^2y(y \ dx+x \ dy)=2y \ dx+x \ dy\).
Решение
Умножим уравнение на \(x\):
\[x^2y(xy \ dx+x^2 \ dy)=2xy \ dx+x^2 \ dy\]
Преобразуем уравнение выделяя полный дифференциал \(d(x^2y)=2xy \ dx+x^2 \ dy\):
\[-x^3y^2\ dx+ x^2y\ d(x^2y)= d(x^2y)\]
Произведем замену \(u=x^2y \):
\[-\frac{u^2}{x}\ dx+u\ du=du\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, получим:
\[\frac{u-1}{u^2}du=\frac{1}{x} \ dx\]
\[\int \frac{u-1}{u^2}du=\int \frac{1}{x} \ dx\]
\[\ln |u|+\frac{1}{u}+\ln C=\ln|x|\]
\[\ln \frac{Cu}{x}=-\frac{1}{u}\]
При делении могли быть потеряны решения \(x=0\) и \(y=0\). Очевидно, \(x=0\) и \(y=0\) являются решениями.
Произведем обратную замену \(u=x^2y \):
\[\ln Cxy=-\frac{1}{x^2y}\]
\[x^2y\ln Cxy=-1\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[x^2y\ln Cxy=-1; \ x=0; \ y=0.\]
Комментариев нет:
Отправить комментарий