Задача 210. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: \((x^2-y^2+y) dx+x(2y-1) \ dy=0\).

Решение

Запишем уравнение в виде:

\[(x^2-y^2+y)\ dx+xd(y^2-y)=0\]

Произведем замену \(u=y^2-y\):

\[(x^2-u) \ dx+x \ du=0\]

\[x \ du-u \ dx+x^2 \ dx=0\]

Разделив уравнение на \(x^2\) (\(x=0\) является решением) получим:

\[\frac{x \ du-u \ dx}{x^2} + dx=0\]

\[d\left(\frac{u}{x}\right)+dx=0\]

\[d\left(\frac{u}{x}+x\right)=0\]

Это уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Соответственно, получаем решение этого уравнения:

\[\frac{u}{x}+x=C\]

Произведем обратную замену \(u=y^2-y\):

\[\frac{y^2-y}{x}+x=C\]

\[y^2-y+x^2=Cx\]

\[y^2+x^2=y+Cx\]

Таким образом, решение исходного уравнения:

\[y^2+x^2=y+Cx; \ x=0.\]