Задача 210. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: $(x^2-y^2+y) dx+x(2y-1) \ dy=0$.

Решение

Запишем уравнение в виде:

$$(x^2-y^2+y)\ dx+xd(y^2-y)=0$$

Произведем замену $u=y^2-y$:

$$(x^2-u) \ dx+x \ du=0$$

$$x \ du-u \ dx+x^2 \ dx=0$$

Разделив уравнение на $x^2$ ($x=0$ является решением) получим:

$$\frac{x \ du-u \ dx}{x^2} + dx=0$$

$$d\left(\frac{u}{x}\right)+dx=0$$

$$d\left(\frac{u}{x}+x\right)=0$$

Это уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Соответственно, получаем решение этого уравнения:

$$\frac{u}{x}+x=C$$

Произведем обратную замену $u=y^2-y$:

$$\frac{y^2-y}{x}+x=C$$

$$y^2-y+x^2=Cx$$

$$y^2+x^2=y+Cx$$

Таким образом, решение исходного уравнения:

$$y^2+x^2=y+Cx; \ x=0.$$