Построить по два последовательных приближения (не считая исходного) к решениям
следующих уравнений и систем:
a) \(y'=2 x+z\), \(z^{\prime}=y\) ; \(y(1)=1\),
\(z(1)=0\).
б) \(\dfrac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}=y\), \(\dfrac{\mathrm{d}
y}{\mathrm{d} t}=x^{2} \); \(x(0)=1\), \(y(0)=2\).
в) \(y'' +y'^2 -2 y=0\) ; \(y(0)=1\), \(y'(0)=0\).
г) \(\dfrac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{d} t^{2}}=3 t x\) ;
\(x(1)=2\),\(\left. \dfrac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}\right|_{t=1}=-1\)
Решение
a) \(y'=2 x+z\), \(z^{\prime}=y\) ; \(y(1)=1\),
\(z(1)=0\).
Начальные приближения:
\[y_0(x)=1, \ z_0(x)=0\]
Рекуррентные формулы для последовательных приближений:
\[y_{k+1}(x)=1+\int_{1}^{x}\left(2s+z_{k}(s)\right) d s, \
z_{k+1}(x)=\int_{1}^{x} y_{k}(s) d s, \quad k\in Z_0\]
Для \(k=1\), получаем:
\[y_1(x)=1+\int_{1}^{x}\left(2s+z_{0}(s)\right) d
s=1+\int_{1}^{x}\left(2s\right) d s=1+x^2-1=x^2\]
\[z_1(x)=\int_{1}^{x} y_{0}(s) d s=\int_{1}^{x} d s=x-1\]
Для \(k=2\), получаем:
\[y_2(x)=1+\int_{1}^{x}\left(2s+z_{1}(s)\right) d
s=1+\int_{1}^{x}\left(2s+s-1\right) d
s=\\=1+\frac{3x^2}{2}-x-\frac{3}{2}+1=\frac{1}{2}+\frac{3x^2}{2}-x\]
\[z_2(x)=\int_{1}^{x} y_{1}(s) d s=\int_{1}^{x} s^2 d
s=\frac{x^3}{3}-\frac{1}{3}\]
Таким образом, получаем последовательные приближения для исходной системы
уравнений:
\[y_0(x)=1, \ y_1(x)=x^2, \ y_2(x)=\frac{1}{2}+\frac{3x^2}{2}-x\]
\[z_0(x)=0, \ z_1(x)=x-1, \ z_2(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{1}{3}\]
б) \(\dfrac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}=y\), \(\dfrac{\mathrm{d}
y}{\mathrm{d} t}=x^{2} \); \(x(0)=1\), \(y(0)=2\).
Начальные приближения:
\[x_0(t)=1, \ y_0(t)=2\]
Рекуррентные формулы для последовательных приближений:
\[x_{k+1}(t)=1+\int_{0}^{t}y_{k}(s) \ d s, \ y_{k+1}(t)=2+\int_{0}^{t}
x^2_{k}(s) d s, \quad k\in Z_0\]
Для \(k=1\), получаем:
\[x_{1}(t)=1+\int_{0}^{t}y_{0}(s) \ d s=1+2\int_{0}^{t} d s=1+2t\]
\[y_{1}(t)=2+\int_{0}^{t} x^2_{0}(s) d s=2+\int_{0}^{t} d s=2+t\]
Для \(k=2\), получаем:
\[x_{2}(t)=1+\int_{0}^{t}y_{1}(s) \ d s=1+\int_{0}^{t} \left(2+s\right)d
s=1+2t+\frac{t^2}{2}\]
\[y_{2}(t)=2+\int_{0}^{t} x^2_{1}(s) d s=2+\int_{0}^{t} \left(1+2s\right)^2 d
s=\\=2+\int_{0}^{t} \left(1+4s+4s^2\right) d s=2+t+2t^2+\frac{4t^3}{3}\]
Таким образом, получаем последовательные приближения для исходной системы
уравнений:
\[x_0(t)=1, \ x_{1}(t)=1+2t, \ x_{2}(t)=1+2t+\frac{t^2}{2}\]
\[y_0(t)=2, \ y_{1}(t)=2+t, \ y_{2}(t)=2+t+2t^2+\frac{4t^3}{3}\]
в) \(y'' +y'^2 -2 y=0\) ; \(y(0)=1\), \(y'(0)=0\).
Сведем данное уравнение второго порядка к системе уравнений. Пусть \(z=y'\),
тогда:
\[y'=z, \ z'=2y-z^2\]
Начальные условия принимают вид:
\[y(0)=1, \ z(0)=0\]
Начальные приближения:
\[y_0(x)=1, \ z_0(x)=0\]
Рекуррентные формулы для последовательных приближений:
\[y_{k+1}(x)=1+\int_{0}^{x} z_{k}(s) d s, \
z_{k+1}(x)=\int_{0}^{x}\left(2y_k(s)-z^2_{k}(s)\right) d s, \quad k\in Z_0\]
Для \(k=1\), получаем:
\[y_1(x)=1+\int_{0}^{x}z_{0}(s) \ d s=1\]
\[z_1(x)=\int_{0}^{x} \left(2y_0(s)-z^2_{0}(s)\right) d s=2\int_{0}^{x} d
s=2x\]
Для \(k=2\), получаем:
\[y_2(x)=1+\int_{0}^{x}z_{1}(s) \ d s=1+2\int_{0}^{x} s\ d s=1+x^2\]
\[z_2(x)=\int_{0}^{x} \left(2y_1(s)-z^2_{1}(s)\right) d s=\int_{0}^{x}
\left(2-4s^2\right) d s=2x-\frac{4x^3}{3}\]
Таким образом, получаем последовательные приближения для исходного уравнения:
\[y_0(x)=1, \ y_1(x)=1, \ y_2(x)=1+x^2\]
г) \(\dfrac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{d} t^{2}}=3 t x\) ; \(x(1)=2\),\(\left. \dfrac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}\right|_{t=1}=-1\)
Сведем данное уравнение второго порядка к системе уравнений. Пусть \(y=x'\),
тогда:
\[x'=y, \ y'=3tx\]
Начальные условия принимают вид:
\[x(1)=2, \ y(1)=-1\]
Начальные приближения:
\[x_0(t)=2, \ y_0(t)=-1\]
Рекуррентные формулы для последовательных приближений:
\[x_{k+1}(t)=2+\int_{1}^{t}y_{k}(s) \ d s, \ y_{k+1}(t)=-1+\int_{1}^{t}
3tx_{k}(s) d s, \quad k\in Z_0\]
Для \(k=1\), получаем:
\[x_{1}(t)=2+\int_{1}^{t}y_{0}(s) \ d s=2-\int_{1}^{t} d s=3-t\]
\[y_{1}(t)=-1+\int_{1}^{t} 3sx_{0}(s) d s=-1+6\int_{1}^{t} s \ d
s=-1+3t^2-3=3t^2-4\]
Для \(k=2\), получаем:
\[x_{2}(t)=2+\int_{1}^{t}y_{1}(s) \ d s=2+\int_{1}^{t}(3t^2-4) \ d
s=2+t^3-4t-1+4=5+t^3-4t\]
Таким образом, получаем последовательные приближения для исходного уравнения:
\[x_0(t)=2, \ x_{1}(t)=3-t, \ x_{2}(t)=5+t^3-4t\]