Уравнение \(y^{\prime}+a(x) y=b(x)\) называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.
Порядок решения линейных уравнений первого порядка:
1. Сначала необходимо найти общее решение однородного уравнения \(y^{\prime}+a(x) y=0\). Это делается путем разделения переменных и последующего интегрирования.
2. Получив общее решение уравнения \(y^{\prime}+a(x) y=0\), заменить в нем произвольную постоянную \(C\) на неизвестную функцию \(C(x)\). Затем полученное выражение для \(y\) подставить в исходное уравнение и найти функцию \(C(x)\).
Решение однородного уравнения с подставленным в него найденной функцией \(C(x)\) и будет решением исходного уравнения.
Пример 1. Решить уравнение \(xy' - 2y = 2x^4\).Уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением.Найдем решение однородного уравнения:\[xy' - 2y = 0\]Разделим переменные:\[x\frac{dy}{dx}=y\]\[\frac{dy}{y}=2\frac{dx}{x}\]Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:\[\int \frac{dy}{y}=2\int \frac{dx}{x}\]\[\ln |y|=2\ln|x|+\ln C\]\[y=Cx^2\]При делении могли быть потеряны решения \(y=0\) и \(x=0\). Очевидно, \(y=0\) и \(x=0\) не являются решениями.Таким образом, решение однородного уравнения: \(y=Cx^2\).Считая постоянную \(C\) функцией от \(x\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.Так как \(y'=C'x^2+2Cx\), то:\[x(C'x^2+2Cx)-2Cx^2=2x^4\]\[C'x^3=2x^4\]\[C'=2x\]Получаем: \(C=x^2+C_1\).Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:\[y=Cx^2=(x^2+C_1)x^2=x^4+C_1x^2\]Таким образом, мы получили решение исходного уравнения:\[y=x^4+C_1x^2.\]
Уравнения приводимые к линейному виду
Некоторые уравнения можно привести к линейному виду, если поменять местами искомую функцию и независимое переменное.
Пример 2. Рассмотрим нелинейное уравнение \(y = (2x + y^3)y'\).В этом уравнении \(y\) является функцией от \(x\). Запишем его в дифференциалах: \(y \ dx - (2x+y^3) \ dy = 0\).Так как в это уравнение \(x\) и \(dx\) входят линейно, то уравнение будет линейным, если \(x\) считать искомой функцией, a \(y\) независимым переменным. Это уравнение может быть записано в виде линейного уравнения:\[\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} y}-\frac{2}{y} x=y^{2}.\]Или:\[x'-2\frac{x}{y}=y^2\]Это уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением относительно \(x\).
Уравнение Бернулли
Уравнением Бернулли называется уравнение вида:
\[y^{\prime}+a(x) y=b(x) y^{n}, \quad(n \neq 1)\]
Чтобы привести уравнение Бернулли к линейному уравнению, необходимо обе его части разделить на \(y^n\) и сделать замену \(1/y^{n-1}=z\). После замены получается линейное уравнение, которое можно решить обычным способом.
Пример 3. Решить уравнение \(y'+2y=y^2e^x\).Уравнение является уравнением Бернулли (\(n=2\)). Для решения уравнения Бернулли необходимо обе его части разделить на \(y^n\) и сделать замену \(1/y^{n-1}=z\).Разделим уравнение на \(y^2\):\[\frac{y'}{y^2} +\frac{2}{y}=e^x\]При делении могло быть потеряно решение \(y=0\). Очевидно, \(y=0\) является решением.Произведем замену \(z=1/y\):Так как \(z'=-\dfrac{1}{y^2}y'\), то:\[y'=-z'y^2\]Получаем:\[-z'+2z=e^x\]Данное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением.Найдем решение однородного уравнения:\[-z'+2z=0\]Разделим переменные:\[\frac{dz}{z}=2 \ dx\]Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:\[\int \frac{dz}{z}=2 \int \ dx\]\[\ln z=2x+C\]\[z=Ce^{2x}\]Таким образом, решение однородного уравнения: \(z=Ce^{2x}\).Считая постоянную \(C\) функцией от \(x\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.Так как \(z'=C'e^{2x}+2Ce^{2x}\), то:\[-\left(C'e^{2x}+2Ce^{2x}\right)+2Ce^{2x}=e^x\]\[C'=-e^{-x}\]\[C=e^{-x}+C_1\]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:\[z=Ce^{2x}=\left(e^{-x}+C_1\right)e^{2x}=C_1e^{2x}+e^{x}\]Произведем обратную замену. Так как \(z=1/y\):\[\frac{1}{y}=C_1e^{2x}+e^{x}\]\[y=\frac{1}{C_1e^{2x}+e^{x}}\]Таким образом, решение исходного уравнения:\[y=\frac{1}{C_1e^{2x}+e^{x}}; \ y=0.\]
Уравнение Риккати
Уравнением Риккати называется уравнение вида:
\[y^{\prime}+a(x) y+b(x) y^{2}=c(x)\]
Уравнение Риккати можно привести к уравнению Бернулли, если известно одно некоторое частное решение \(y_1(x)\). Для приведения производится замена \(y =y_1(x)+z\).
Обычно частное решение удается подобрать, исходя из вида свободного члена уравнения (члена, не содержащего \(y\)).
Пример 4. Рассмотрим уравнение \(y'+y^2 = x^2-2x\). В левой части уравнения будут члены, подобные членам правой части, если взять \(y = ax+b\). Подставляя в уравнение и приравнивая коэффициенты при подобных членах, можно найти \(a\) и \(b\) (если частное решение указанного вида существует, что не всегда бывает).
Пример 5. Рассмотрим уравнение \(y' + 2y^2 = 6/x^2\). В данном случае, очевидно, частное решение нужно искать в виде \(y=a/x\). Подставив \(y=a/x\) в исходное уравнение, можно определить \(a\).
Комментариев нет:
Отправить комментарий