Линейные уравнения первого порядка

Уравнение $y^{\prime}+a(x) y=b(x)$ называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. 

Порядок решения линейных уравнений первого порядка:

1. Сначала необходимо найти общее решение однородного уравнения $y^{\prime}+a(x) y=0$. Это делается путем разделения переменных и последующего интегрирования.

2. Получив общее решение уравнения $y^{\prime}+a(x) y=0$, заменить в нем произвольную постоянную $C$ на неизвестную функцию $C(x)$. Затем полученное выражение для $y$ подставить в исходное уравнение и найти функцию $C(x)$.

Решение однородного уравнения с подставленным в него найденной функцией $C(x)$ и будет решением исходного уравнения.

Пример 1. Решить уравнение $xy' - 2y = 2x^4$.

Уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением.

Найдем решение однородного уравнения:

$$xy' - 2y = 0$$

Разделим переменные:

$$x\frac{dy}{dx}=y$$

$$\frac{dy}{y}=2\frac{dx}{x}$$

Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:

$$\int \frac{dy}{y}=2\int \frac{dx}{x}$$

$$\ln |y|=2\ln|x|+\ln C$$

$$y=Cx^2$$

При делении могли быть потеряны решения $y=0$ и $x=0$. Очевидно, $y=0$ и $x=0$ не являются решениями.

Таким образом, решение однородного уравнения: $y=Cx^2$.

Считая постоянную $C$ функцией от $x$, подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.

Так как $y'=C'x^2+2Cx$, то: 

$$x(C'x^2+2Cx)-2Cx^2=2x^4$$

$$C'x^3=2x^4$$

$$C'=2x$$

Получаем: $C=x^2+C_1$.

Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:

$$y=Cx^2=(x^2+C_1)x^2=x^4+C_1x^2$$

Таким образом, мы получили решение исходного уравнения:

$$y=x^4+C_1x^2.$$

Уравнения приводимые к линейному виду

Некоторые уравнения можно привести к линейному виду, если поменять местами искомую функцию и независимое переменное. 

Пример 2. Рассмотрим нелинейное уравнение $y = (2x + y^3)y'$.

В этом уравнении $y$ является функцией от $x$. Запишем его в дифференциалах: $y \ dx - (2x+y^3) \ dy = 0$. 

Так как в это уравнение $x$ и $dx$ входят линейно, то уравнение будет линейным, если $x$ считать искомой функцией, a $y$ независимым переменным. Это уравнение может быть записано в виде линейного уравнения: 

$$\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} y}-\frac{2}{y} x=y^{2}.$$

Или:

$$x'-2\frac{x}{y}=y^2$$

Это уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением относительно $x$.

Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли называется уравнение вида: 

$$y^{\prime}+a(x) y=b(x) y^{n}, \quad(n \neq 1)$$

Чтобы привести уравнение Бернулли к линейному уравнению, необходимо обе его части разделить на $y^n$ и сделать замену $1/y^{n-1}=z$. После замены получается линейное уравнение, которое можно решить обычным способом.

Пример 3. Решить уравнение $y'+2y=y^2e^x$.

Уравнение является уравнением Бернулли ($n=2$). Для решения уравнения Бернулли необходимо обе его части разделить на $y^n$ и сделать замену $1/y^{n-1}=z$. 

Разделим уравнение на $y^2$:

$$\frac{y'}{y^2} +\frac{2}{y}=e^x$$

При делении могло быть потеряно решение $y=0$. Очевидно, $y=0$ является решением.

Произведем замену $z=1/y$:

Так как $z'=-\dfrac{1}{y^2}y'$, то: 

$$y'=-z'y^2$$

Получаем:

$$-z'+2z=e^x$$

Данное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением.

Найдем решение однородного уравнения:

$$-z'+2z=0$$

Разделим переменные:

$$\frac{dz}{z}=2 \ dx$$

Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:

$$\int \frac{dz}{z}=2 \int \ dx$$

$$\ln z=2x+C$$

$$z=Ce^{2x}$$

Таким образом, решение однородного уравнения: $z=Ce^{2x}$.

Считая постоянную $C$ функцией от $x$, подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.

Так как $z'=C'e^{2x}+2Ce^{2x}$, то: 

$$-\left(C'e^{2x}+2Ce^{2x}\right)+2Ce^{2x}=e^x$$

$$C'=-e^{-x}$$

$$C=e^{-x}+C_1$$  

Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:

$$z=Ce^{2x}=\left(e^{-x}+C_1\right)e^{2x}=C_1e^{2x}+e^{x}$$

Произведем обратную замену. Так как $z=1/y$:

$$\frac{1}{y}=C_1e^{2x}+e^{x}$$

$$y=\frac{1}{C_1e^{2x}+e^{x}}$$

Таким образом, решение исходного уравнения:

$$y=\frac{1}{C_1e^{2x}+e^{x}}; \ y=0.$$

Уравнение Риккати

Уравнением Риккати называется уравнение вида: 

$$y^{\prime}+a(x) y+b(x) y^{2}=c(x)$$

Уравнение Риккати можно привести к уравнению Бернулли, если известно одно некоторое частное решение $y_1(x)$. Для приведения производится замена $y =y_1(x)+z$.

Обычно частное решение удается подобрать, исходя из вида свободного члена уравнения (члена, не содержащего $y$). 

Пример 4. Рассмотрим уравнение $y'+y^2 = x^2-2x$. В левой части уравнения будут члены, подобные членам правой части, если взять $y = ax+b$. Подставляя в уравнение и приравнивая коэффициенты при подобных членах, можно найти $a$ и $b$ (если частное решение указанного вида существует, что не всегда бывает). 

Пример 5. Рассмотрим уравнение $y' + 2y^2 = 6/x^2$. В данном случае, очевидно, частное решение нужно искать в виде $y=a/x$. Подставив $y=a/x$ в исходное уравнение, можно определить $a$.