Задача 182. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Показать,что только одно решение уравнения $xy'-(2x^2+1)y=x^2$ стремится к конечному пределу при $x \to +\infty$, и найти этот предел. Выразить это решение через интеграл.

Решение
Исходное уравнение является неоднородным линейным дифференциальным уравнением:
$$y'-\frac{2x^2+1}{x}y=x$$
Найдем решение однородного уравнения:
$$y'-\frac{2x^2+1}{x}y=0$$
Разделим переменные:
$$\frac{dy}{y}=\frac{2x^2+1}{x}dx$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int\frac{dy}{y}=\int\frac{2x^2+1}{x}dx$$
$$\int\frac{dy}{y}=2\int x \ dx+\int\frac{1}{x}dx$$
$$\ln |y|=x^2+\ln |x|+\ln C$$
$$y=Cxe^{x^2}$$
Таким образом, решение однородного уравнения: $y=Cxe^{x^2}$.
Считая постоянную $C$ функцией от $x$, подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как $y'=C'xe^{x^2}+C(e^{x^2}+2x^2e^{x^2})$, то:
$$C'xe^{x^2}+C(e^{x^2}+2x^2e^{x^2})-\frac{2x^2+1}{x}Cxe^{x^2}=x$$
$$C'e^{x^2}=1$$
$$C'=e^{-x^2}$$
$$C=\int \limits_{-\infty }^x e^{-x^2}dx+C_1$$
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
$$y=Cxe^{x^2}=xe^{x^2}\left(\int \limits_{-\infty }^x e^{-x^2}dx+C_1\right)$$
Таким образом, общее решение исходного уравнения:
$$y=xe^{x^2}\left(\int \limits_{-\infty }^x e^{-x^2}dx+C_1\right).$$
Рассмотрим поведение решений при $x\to +\infty$.
При $x\to +\infty$ решение ограничено если:
$$\int \limits_{-\infty }^{+\infty} e^{-x^2}dx+C_1=0$$
Получаем Гауссов интеграл:
$$C_1=-\int \limits_{-\infty }^{+\infty} e^{-x^2}dx=-\sqrt{\pi}$$

Тогда решение имеет вид:
$$y=xe^{x^2}\left(\int \limits_{-\infty }^x e^{-x^2}dx-\sqrt{\pi}\right)=xe^{x^2}\left(\int \limits_{-\infty }^x e^{-x^2}dx-\int \limits_{-\infty }^{+\infty} e^{-x^2}dx\right)$$
Разделив второй интеграл по пределам интегрирования, получим:
$$\int \limits_{-\infty }^x e^{-x^2}dx-\int \limits_{-\infty }^{+\infty} e^{-x^2}dx=\int \limits_{-\infty }^x e^{-x^2}dx-\int \limits_{-\infty }^{x} e^{-x^2}dx-\int \limits_{x }^{+\infty} e^{-x^2}dx=\int \limits_{+\infty}^{x} e^{-x^2}dx$$
Таким образом:
$$y=xe^{x^2}\int \limits_{+\infty}^{x} e^{-x^2}dx$$

Найдем предел решения при $x \to +\infty$. Представим решение в виде:
$$y=\frac{\int \limits_{-\infty }^x e^{-x^2}dx-\sqrt{\pi}}{e^{-x^2}x^{-1}}$$
Перейдем к пределу при $x \to +\infty$ и применим правило Лопиталя:
$$\lim \limits_{x \to +\infty} \frac{\int \limits_{-\infty }^x e^{-x^2}dx-\sqrt{\pi}}{e^{-x^2}x^{-1}}=\lim \limits_{x \to +\infty} \frac{ e^{-x^2}}{-e^{-x^2}(x^{-2}+2)}=-\frac{1}{2}$$
Таким образом, только одно решение уравнения стремится к конечному пределу при $x \to +\infty$:
$$y=xe^{x^2}\int \limits_{+\infty}^{x} e^{-x^2}dx$$
И предел этот равен $-\dfrac{1}{2}$.