Задача 182. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Показать,что только одно решение уравнения \(xy'-(2x^2+1)y=x^2\) стремится к конечному пределу при \(x \to +\infty\), и найти этот предел. Выразить это решение через интеграл.

Решение
Исходное уравнение является неоднородным линейным дифференциальным уравнением:
\[y'-\frac{2x^2+1}{x}y=x\]
Найдем решение однородного уравнения:
\[y'-\frac{2x^2+1}{x}y=0\]
Разделим переменные:
\[\frac{dy}{y}=\frac{2x^2+1}{x}dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int\frac{dy}{y}=\int\frac{2x^2+1}{x}dx\]
\[\int\frac{dy}{y}=2\int x \ dx+\int\frac{1}{x}dx\]
\[\ln |y|=x^2+\ln |x|+\ln C \]
\[y=Cxe^{x^2}\]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(y=Cxe^{x^2}\).
Считая постоянную \(C\) функцией от \(x\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(y'=C'xe^{x^2}+C(e^{x^2}+2x^2e^{x^2})\), то:
\[C'xe^{x^2}+C(e^{x^2}+2x^2e^{x^2})-\frac{2x^2+1}{x}Cxe^{x^2}=x\]
\[C'e^{x^2}=1\]
\[C'=e^{-x^2}\]
\[C=\int \limits_{-\infty }^x e^{-x^2}dx+C_1\]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[y=Cxe^{x^2}=xe^{x^2}\left(\int \limits_{-\infty }^x e^{-x^2}dx+C_1\right)\]
Таким образом, общее решение исходного уравнения:
\[y=xe^{x^2}\left(\int \limits_{-\infty }^x e^{-x^2}dx+C_1\right).\]
Рассмотрим поведение решений при \(x\to +\infty\).
При \(x\to +\infty\) решение ограничено если:
\[\int \limits_{-\infty }^{+\infty} e^{-x^2}dx+C_1=0\]
Получаем Гауссов интеграл:
\[C_1=-\int \limits_{-\infty }^{+\infty} e^{-x^2}dx=-\sqrt{\pi}\]

Тогда решение имеет вид:
\[y=xe^{x^2}\left(\int \limits_{-\infty }^x e^{-x^2}dx-\sqrt{\pi}\right)=xe^{x^2}\left(\int \limits_{-\infty }^x e^{-x^2}dx-\int \limits_{-\infty }^{+\infty} e^{-x^2}dx\right)\]
Разделив второй интеграл по пределам интегрирования, получим:
\[\int \limits_{-\infty }^x e^{-x^2}dx-\int \limits_{-\infty }^{+\infty} e^{-x^2}dx=\int \limits_{-\infty }^x e^{-x^2}dx-\int \limits_{-\infty }^{x} e^{-x^2}dx-\int \limits_{x }^{+\infty} e^{-x^2}dx=\int \limits_{+\infty}^{x} e^{-x^2}dx\]
Таким образом:
\[y=xe^{x^2}\int \limits_{+\infty}^{x} e^{-x^2}dx\]

Найдем предел решения при \(x \to +\infty\). Представим решение в виде:
\[y=\frac{\int \limits_{-\infty }^x e^{-x^2}dx-\sqrt{\pi}}{e^{-x^2}x^{-1}}\]
Перейдем к пределу при \(x \to +\infty\) и применим правило Лопиталя:
\[\lim \limits_{x \to +\infty} \frac{\int \limits_{-\infty }^x e^{-x^2}dx-\sqrt{\pi}}{e^{-x^2}x^{-1}}=\lim \limits_{x \to +\infty} \frac{ e^{-x^2}}{-e^{-x^2}(x^{-2}+2)}=-\frac{1}{2}\]
Таким образом, только одно решение уравнения стремится к конечному пределу при \(x \to +\infty\):
\[y=xe^{x^2}\int \limits_{+\infty}^{x} e^{-x^2}dx\]
И предел этот равен \(-\dfrac{1}{2}\).