Задача 181. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Показать, что уравнение $\frac{dx}{dt}+ x=f(t)$, где $|f(t)|\leqslant M$ при $-\infty \lt t \lt +\infty$, имеет одно решение, ограниченное при $-\infty \lt t \lt +\infty$. Найти это решение. Показать, что найденное решение периодическое, если функция $f(t)$ периодическая.

Решение
Исходное уравнение является неоднородным линейным дифференциальным уравнением:
$$x'+ x=f(t)$$
Найдем решение однородного уравнения:
$$x'+ x=0$$
Разделим переменные:
$$\frac{dx}{x}=-dt$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\ln|x|=-t+\ln C$$
$$x=Ce^{-t}$$
Таким образом, решение однородного уравнения: $x=Ce^{-t}$.
Считая постоянную $C$ функцией от $t$, подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как $x'=C'e^{-t}-Ce^{-t}$, то:
$$C'e^{-t}-Ce^{-t}+Ce^{-t}=f(t)$$
$$C'e^{-t}=f(t)$$
$$C'=e^{t}f(t)$$
$$C=\int \limits_{-\infty }^t e^{t}f(t)dt+C_1$$
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
$$x=Ce^{-t}=\left(\int \limits_{-\infty }^t e^{t}f(t)dt+C_1\right)e^{-t}=C_1e^{-t}+e^{-t}\int \limits_{-\infty }^t e^{t}f(t)dt$$
Таким образом, общее решение исходного уравнения:
$$x(t)=C_1e^{-t}+e^{-t}\int \limits_{-\infty }^t e^{t}f(t)dt$$
Так как $|f(t)|\leqslant M$ при $-\infty \lt t \lt +\infty$, то:
$$\left|\int \limits_{-\infty }^t e^{t}f(t)dt\right|\leqslant M e^t.$$
Получаем, несобственный интеграл $\int \limits_{-\infty }^t e^{t}f(t)dt$ сходится.
В то же время:
$$e^{-t}\int \limits_{-\infty }^t e^{t}f(t)dt\leqslant M .$$
Таким образом, решение будет ограниченным только при $C_1=0$ и будет иметь вид:
$$x(t)=e^{-t}\int \limits_{-\infty }^t e^{t}f(t)dt$$
Рассмотрим случай, когда функция $f$ периодическая: $f(t+T)=f(t)$, где $T\gt 0$. Тогда получаем:
$$x(t)=e^{-t}\int \limits_{-\infty }^t e^{t}f(t+T)dt$$
Введем в интеграле замену $u=t+T$ и получим:
$$x(t)=e^{-t}\int \limits_{-\infty }^{t+T} e^{u-T}f(u)du=e^{-(t+T)}\int \limits_{-\infty }^{t+T} e^{u}f(u)du=x(t+T)$$
Следовательно, $x(t)$ тоже периодическая функция.