Однородные дифференциальные уравнения

Однородные дифференциальные уравнения могут быть записаны в виде $y' = f(\frac{y}{x})$, или в виде $M(x, y) \ dx + N(x, y) \ dy = 0$, где $M(x, y)$ и $N(x, y)$ — однородные функции одной и той же степени (функция $M(x, y)$ называется однородной функцией степени $n$, если $M(kx, ky)= k^nM(x, y)$ для всех $k > 0$).

1. Чтобы решить однородное уравнение, необходимо сделать замену $y = tx$. После проведенного преобразования, получается дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Пример 1. Рассмотрим в качестве примера следующее уравнение:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{x+y}{x}.$$
Это уравнение является однородным дифференциальным уравнением, так как может быть записано в виде:
$$\frac{dy}{dx}=1+\frac{y}{x}.$$
Произведем замену $y = tx$:
Найдем производную:
$$\frac{dy}{dx}=t\frac{dx}{dx}+x\frac{dt}{dx}=t+x\frac{dt}{dx}$$
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
$$\frac{dy}{dx}=1+\frac{y}{x} \ \Rightarrow \ t+x\frac{dt}{dx}=1+t$$

Получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
$$\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}$$
Разделив и проинтегрировав, получим решение:
$$t=\ln |x|+C$$
Произведем обратную замену. Так как $y = tx$:
$$t=\ln |x|+C \ \Rightarrow \ \frac{y}{x}=\ln |x|+C \ \Rightarrow \ y=x\ln |x|+Cx.$$
Таким образом, мы получили решение исходного уравнения: $y=x\ln |x|+Cx$.

Рассмотрим еще один, менее очевидный, пример:

Пример 2.
$$\frac{dy}{dx}=\frac{x^2+3y^2}{2xy}.$$
Преобразуем дробь в правой части:
$$\frac{x^2+3y^2}{2xy}=\frac{1+3\frac{y^2}{x^2}}{2\frac{y}{x}}=\frac{1+3\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^2}{2\frac{y}{x}}$$
Получаем однородное уравнение:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1+3\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^2}{2\frac{y}{x}}.$$
Произведем замену $y = tx$:
Найдем производную:
$$\frac{dy}{dx}=t+x\frac{dt}{dx}$$
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
$$t+x\frac{dt}{dx}=\frac{1+3t^2}{2t}$$
Преобразуем уравнение:
$$2t^2+2xt\frac{dt}{dx}=1+3t^2$$
$$2xt\frac{dt}{dx}=1+t^2$$
$$x\frac{dt}{dx}=\frac{1+t^2}{2t}$$
Мы получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
$$\frac{2t}{1+t^2}dt=\frac{1}{x}dx$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{2t}{1+t^2}dt=\int \frac{1}{x}dx$$
$$\int \frac{2t}{1+t^2}dt=\int \frac{1}{1+t^2}d(1+t^2)=\ln(1+t^2)+C$$
Получаем:
$$\ln(1+t^2)=\ln|x|+\ln|C|$$
$$\ln(1+t^2)=\ln|Cx|$$
$$1+t^2=Cx$$
Произведем обратную замену. Так как $y = tx$:
$$1+\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^2=Cx$$
Таким образом, мы получили решение исходного уравнения: $1+\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^2=Cx$.

2. Уравнение вида $y'=f\Bigl(\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}\Bigr)$ можно привести к однородному виду с помощью переноса начала координат в точку пересечения прямых $a_2x+b_2y+c_2 = 0$ и $a_1x+b_1y+c_1=0$. Если же эти прямые не пересекаются, то есть $a_1x+b_1y = k(a_2x+b_2y)$, тогда уравнение имеет вид $y' = F(ax + by)$ и приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой $z = ax + by$ (или $z = ax + by + c$).

Пример 3. Решить уравнение $x-y-1 +(y-x+2) y'=0$.
Преобразуем уравнение.
$$y'=\frac{x-y-1}{x-y-2}$$
Приведем уравнение к однородному виду. Поскольку прямые $x-y-1= 0$ и $x-y-2=0$ не пересекаются, уравнение невозможно привести к однородному виду с помощью переноса начала координат в точку пересечения прямых. Поэтому введем замену: $z=x-y-2$.
Найдем производную:
$$z'=1-y' \ \Rightarrow \ y'=1-z'$$
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
$$1-z'=\frac{z+1}{z}$$
$$z'=-\frac{1}{z}$$
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
$$zdz=-dx$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int zdz=-\int dx$$
$$\frac{z^2}{2}=-x+C$$
$$\frac{(x-y-2)^2}{2}=-x+C$$
$$\frac{(x-y-2)^2}{2}+x=C$$
При делении могло быть потеряно решение $z=0 \ (x-y-2=0)$. Очевидно, $x-y-2=0$ не является решением.
Таким образом, решение исходного уравнения:
$$\frac{(x-y-2)^2}{2}+x=C.$$

3. Некоторые уравнения можно привести к однородному виду, воспользовавшись заменой $y=z^m$. Число $m$ обычно заранее не известно. Чтобы его найти, надо произвести замену $y=z^m$. Применив требование однородности к полученному уравнению, можно найти $m$, если это возможно. Если же этого сделать нельзя, то уравнение не приводится к однородному этим способом.

Пример 4. Решить уравнение $2y+(x^2y+1)xy'=0$.
Уравнение не является однородным.
Проведем замену $y=z^m$:
Найдем производную:
$$y'=mz^{m-1}z'$$
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
$$2z^m+(x^2z^m+1)xmz^{m-1}z'=0$$
Это уравнение будет однородным, если $m=2+m+1+m-1=1+m-1$. То есть при $m=-2$. Получаем $y=\dfrac{1}{z^2}$:
$$2\dfrac{1}{z^2}-2(x^2\dfrac{1}{z^2}+1)x\dfrac{1}{z^3}z'=0$$
Преобразовав, получим однородное уравнение:
$$z'=\frac{\dfrac{z^3}{x^3} }{1+\dfrac{z^2}{x^2}}$$
Проведем замену $z = tx$:
Найдем производную:
$$\frac{dz}{dx}=t+x\frac{dt}{dx}$$
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
$$t+x\frac{dt}{dx}=\frac{t^3}{1+t^2}$$
Или:
$$x\frac{dt}{dx}=-\frac{t}{1+t^2}$$
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
$$\frac{1+t^2}{t} dt=-\frac{1}{x}dx$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int\frac{1+t^2}{t} dt=-\int\frac{1}{x}dx$$
$$\ln|t|+\frac{t^2}{2}+\ln C=-\ln |x|$$
Произведем обратную замену. Так как $z = tx$, получаем:
$$\ln|\frac{z}{x}|+\frac{z^2}{2x^2}+\ln C=-\ln |x|$$
Произведем обратную замену. Так как $y=\dfrac{1}{z^2}$, получаем:
$$\ln|\frac{1}{x\sqrt{y}}|+\frac{1}{2yx^2}+\ln C=-\ln |x|$$
$$2\ln\frac{Cx\sqrt{y}}{x}=\frac{1}{yx^2}$$
$$\ln Cy=\frac{1}{yx^2}$$
$$yx^2\ln Cy=1$$
При вводе замены $y=\dfrac{1}{z^2}$ могло быть потеряно решение $y=0$. Очевидно, $y=0$ является решением.
Таким образом, решение исходного уравнения:
$$yx^2\ln Cy=1; \ y=0.$$