Ортогональные траектории в полярных координатах

Линию, пересекающую под прямым углом каждую из кривых данного однопараметрического семейства \(\Phi(r,\theta,C)=0\), называют ортогональной траекторией этого семейства. Ортогональные траектории данного семейства кривых образуют новое семейство линий.

Пусть дифференциальное уравнение семейства имеет вид \(F(r,\theta,r')=0\). Тогда уравнение ортогональных траекторий будет иметь вид:
\[F(r,\theta,-\frac{r^2}{r'})=0.\]
Итак, чтобы найти уравнение семейства ортогональных траекторий для определенного однопараметрического семейства кривых, необходимо:
1) написать дифференциальное уравнение исходного семейства кривых;
2) заменить в этом уравнении \(r'\) на \(-r^2/r'\);
3) найти общее решение получившегося дифференциального уравнения.

Пример. Составить уравнение ортогональных траекторий семейства кривых заданных уравнением \(r=a +\cos \theta\).
Составим дифференциальное уравнение семейства линий:
\[r'=-\sin \theta\]
Заменим в этом уравнении \(r'\) на \(-r^2/r'\):
\[-\frac{r^2}{r'}=-\sin \theta \ \Rightarrow \ r'=\frac{r^2}{\sin \theta }\]
Таким образом, дифференциальное уравнение ортогональных траекторий имеет вид:
\[r'=\frac{r^2}{\sin \theta }.\]