Ортогональные траектории в полярных координатах

Линию, пересекающую под прямым углом каждую из кривых данного однопараметрического семейства $\Phi(r,\theta,C)=0$, называют ортогональной траекторией этого семейства. Ортогональные траектории данного семейства кривых образуют новое семейство линий.

Пусть дифференциальное уравнение семейства имеет вид $F(r,\theta,r')=0$. Тогда уравнение ортогональных траекторий будет иметь вид:
$$F(r,\theta,-\frac{r^2}{r'})=0.$$
Итак, чтобы найти уравнение семейства ортогональных траекторий для определенного однопараметрического семейства кривых, необходимо:
1) написать дифференциальное уравнение исходного семейства кривых;
2) заменить в этом уравнении $r'$ на $-r^2/r'$;
3) найти общее решение получившегося дифференциального уравнения.

Пример. Составить уравнение ортогональных траекторий семейства кривых заданных уравнением $r=a +\cos \theta$.
Составим дифференциальное уравнение семейства линий:
$$r'=-\sin \theta$$
Заменим в этом уравнении $r'$ на $-r^2/r'$:
$$-\frac{r^2}{r'}=-\sin \theta \ \Rightarrow \ r'=\frac{r^2}{\sin \theta }$$
Таким образом, дифференциальное уравнение ортогональных траекторий имеет вид:
$$r'=\frac{r^2}{\sin \theta }.$$