Задача 45. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Составить дифференциальное уравнение траекторий, пересекающих семейство линий под заданным углом: $r=a \cos^2 \theta$, $\varphi=90^o$.

Решение
Составим дифференциальное уравнение семейства линий:
$$r'=-2a\cos \theta \sin \theta$$
Выразим $a$:
$$a=-\frac{r'}{2\cos \theta \sin \theta}$$
Подставим в исходное уравнение:
$$r=a \cos^2 \theta \ \Rightarrow \ r=-\frac{r'\cos^2 \theta}{2\cos \theta \sin \theta}$$
$$r'=-\frac{2r \sin \theta}{\cos \theta }$$
Для кривых пересекающих данное семейство под углом $\varphi=90^o$ (ортогональные траектории) в полярной системе координат производная равна $-r^2/r'$, соответственно уравнение будет иметь вид:
$$-\frac{r^2}{r'}=-\frac{2r \sin \theta}{\cos \theta } \ \Rightarrow \ r'=\frac{r\cos \theta}{2 \sin \theta }=\frac{r}{2}\cot \theta$$
Таким образом, дифференциальное уравнение траекторий, пересекающих исходное семейство линий под углом $\varphi=90^o$ имеет вид:
$$r'=\frac{r}{2}\cot \theta.$$