Задача 45. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Составить дифференциальное уравнение траекторий, пересекающих семейство линий под заданным углом: \(r=a \cos^2 \theta\), \(\varphi=90^o\).

Решение
Составим дифференциальное уравнение семейства линий:
\[r'=-2a\cos \theta \sin \theta\]
Выразим \(a\):
\[a=-\frac{r'}{2\cos \theta \sin \theta}\]
Подставим в исходное уравнение:
\[r=a \cos^2 \theta \ \Rightarrow \ r=-\frac{r'\cos^2 \theta}{2\cos \theta \sin \theta}\]
\[r'=-\frac{2r \sin \theta}{\cos \theta }\]
Для кривых пересекающих данное семейство под углом \(\varphi=90^o\) (ортогональные траектории) в полярной системе координат производная равна \(-r^2/r'\), соответственно уравнение будет иметь вид:
\[-\frac{r^2}{r'}=-\frac{2r \sin \theta}{\cos \theta } \ \Rightarrow \ r'=\frac{r\cos \theta}{2 \sin \theta }=\frac{r}{2}\cot \theta \]
Таким образом, дифференциальное уравнение траекторий, пересекающих исходное семейство линий под углом \(\varphi=90^o\) имеет вид:
\[r'=\frac{r}{2}\cot \theta. \]