Задача 44. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Составить дифференциальное уравнение траекторий, пересекающих семейство линий под заданным углом: \(r=a +\cos \theta\), \(\varphi=90^o\).

Решение
Составим дифференциальное уравнение семейства линий:
\[r'=-\sin \theta\]
Для кривых пересекающих данное семейство под углом \(\varphi=90^o\) (ортогональные траектории) в полярной системе координат производная равна \(-r^2/r'\), соответственно уравнение будет иметь вид:
\[-\frac{r^2}{r'}=-\sin \theta \ \Rightarrow \ r'=\frac{r^2}{\sin \theta }\]