Задача 44. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Составить дифференциальное уравнение траекторий, пересекающих семейство линий под заданным углом: $r=a +\cos \theta$, $\varphi=90^o$.

Решение
Составим дифференциальное уравнение семейства линий:
$$r'=-\sin \theta$$
Для кривых пересекающих данное семейство под углом $\varphi=90^o$ (ортогональные траектории) в полярной системе координат производная равна $-r^2/r'$, соответственно уравнение будет иметь вид:
$$-\frac{r^2}{r'}=-\sin \theta \ \Rightarrow \ r'=\frac{r^2}{\sin \theta }$$