Задача 43. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Составить дифференциальное уравнение траекторий, пересекающих семейство линий под заданным углом: \(y^2=2px\), \(\varphi=60^o\).

Решение
Составим дифференциальное уравнение семейства линий:
\[2yy'=2p \ \Rightarrow \ p=yy' \ \Rightarrow \ y^2=2yy'x \ \Rightarrow \ y'=\frac{y}{2x}\]
1. Найдем уравнение траекторий для которых где \(\varphi\) отсчитывается от исходной кривой к искомой кривой:
\[\frac{y_1'-y'}{1+y'y_1'}=\tan \varphi\]
\[\frac{y_1'-\dfrac{y}{2x}}{1+\dfrac{y}{2x}y_1'}=\sqrt{3} \]
\[2xy_1'-y =\sqrt{3}(2x+yy_1') \]
\[y_1'(2x-\sqrt{3}y) =2\sqrt{3}x+y\]
\[y_1' =\frac{2\sqrt{3}x+y}{2x-\sqrt{3}y} \]
2. Найдем уравнение траекторий для которых где \(\varphi\) отсчитывается от искомой кривой к исходной кривой:
\[\frac{y'-y_2'}{1+y'y_2'}=\tan \varphi\]
\[\frac{\dfrac{y}{2x}-y_2'}{1+\dfrac{y}{2x}y_2'}=\sqrt{3} \]
\[y-2xy_2' =\sqrt{3}(2x+yy_2') \]
\[y_2'(\sqrt{3}y+2x) =y-2\sqrt{3}x\]
\[y_2' =\frac{y-2\sqrt{3}x}{\sqrt{3}y+2x}\]
Таким образом, дифференциальные уравнения траекторий, пересекающих исходное семейство линий под углом \(\varphi=60^o\) имеют вид:
\[y' =\frac{2\sqrt{3}x+y}{2x-\sqrt{3}y}; \ y' =\frac{y-2\sqrt{3}x}{\sqrt{3}y+2x}.\]