Задача 43. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Составить дифференциальное уравнение траекторий, пересекающих семейство линий под заданным углом: $y^2=2px$, $\varphi=60^o$.

Решение
Составим дифференциальное уравнение семейства линий:
$$2yy'=2p \ \Rightarrow \ p=yy' \ \Rightarrow \ y^2=2yy'x \ \Rightarrow \ y'=\frac{y}{2x}$$
1. Найдем уравнение траекторий для которых где $\varphi$ отсчитывается от исходной кривой к искомой кривой:
$$\frac{y_1'-y'}{1+y'y_1'}=\tan \varphi$$
$$\frac{y_1'-\dfrac{y}{2x}}{1+\dfrac{y}{2x}y_1'}=\sqrt{3}$$
$$2xy_1'-y =\sqrt{3}(2x+yy_1')$$
$$y_1'(2x-\sqrt{3}y) =2\sqrt{3}x+y$$
$$y_1' =\frac{2\sqrt{3}x+y}{2x-\sqrt{3}y}$$
2. Найдем уравнение траекторий для которых где $\varphi$ отсчитывается от искомой кривой к исходной кривой:
$$\frac{y'-y_2'}{1+y'y_2'}=\tan \varphi$$
$$\frac{\dfrac{y}{2x}-y_2'}{1+\dfrac{y}{2x}y_2'}=\sqrt{3}$$
$$y-2xy_2' =\sqrt{3}(2x+yy_2')$$
$$y_2'(\sqrt{3}y+2x) =y-2\sqrt{3}x$$
$$y_2' =\frac{y-2\sqrt{3}x}{\sqrt{3}y+2x}$$
Таким образом, дифференциальные уравнения траекторий, пересекающих исходное семейство линий под углом $\varphi=60^o$ имеют вид:
$$y' =\frac{2\sqrt{3}x+y}{2x-\sqrt{3}y}; \ y' =\frac{y-2\sqrt{3}x}{\sqrt{3}y+2x}.$$