Задача 42. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Составить дифференциальное уравнение траекторий, пересекающих семейство линий под заданным углом: $3x^2+y^2=C$, $\varphi=30^o$.

Решение
Составим дифференциальное уравнение семейства линий:
$$6x+2yy'=0 \ \Rightarrow \ y'=-\frac{3x}{y}$$
1. Найдем уравнение траекторий для которых где $\varphi$ отсчитывается от исходной кривой к искомой кривой:
$$\frac{y_1'-y'}{1+y'y_1'}=\tan \varphi$$
$$\frac{y_1'+\dfrac{3x}{y}}{1-\dfrac{3x}{y}y_1'}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$3(yy_1'+3x)=\sqrt{3}(y-3xy_1')$$
$$3y_1'(y+x\sqrt{3})=\sqrt{3}y-9x$$
$$y_1'=\frac{\sqrt{3}y-9x}{3(y+x\sqrt{3})}$$
2. Найдем уравнение траекторий для которых где $\varphi$ отсчитывается от искомой кривой к исходной кривой:
$$\frac{y'-y_2'}{1+y'y_2'}=\tan \varphi$$
$$\frac{-\dfrac{3x}{y}-y_2'}{1-\dfrac{3x}{y}y_2'}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$3(-3x -yy_2') =\sqrt{3}(y-3xy_2')$$
$$3y_2'(\sqrt{3}x -y) =\sqrt{3}y+9x$$
$$y_2' =\frac{\sqrt{3}y+9x}{3(\sqrt{3}x -y)}$$
Таким образом, дифференциальные уравнения траекторий, пересекающих исходное семейство линий под углом $\varphi=30^o$ имеют вид:
$$y'=\frac{\sqrt{3}y-9x}{3(y+x\sqrt{3})}; \ y' =\frac{\sqrt{3}y+9x}{3(\sqrt{3}x -y)}.$$