Задача 41. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Составить дифференциальное уравнение траекторий, пересекающих семейство линий под заданным углом: $y=kx$, $\varphi=60^o$.

Решение
Составим дифференциальное уравнение семейства линий:
$$y'=k$$
Выразим $k$ и подставим в исходное уравнение:
$$k=y' \ \Rightarrow \ y=y'x \ \Rightarrow \ y'=\frac{y}{x}$$
1. Найдем уравнение траекторий для которых где $\varphi$ отсчитывается от исходной кривой к искомой кривой:
$$\frac{y_1'-y'}{1+y'y_1'}=\tan \varphi$$
$$\frac{y_1'-\dfrac{y}{x}}{1+\dfrac{y}{x}y_1'}=\sqrt{3}$$
$$\frac{y_1'-\dfrac{y}{x}}{1+\dfrac{y}{x}y_1'}=\sqrt{3}$$
$$xy_1'-y=\sqrt{3}(x+yy_1')$$
$$y_1'(x-\sqrt{3}y)=\sqrt{3}x+y$$
$$y_1'= \frac{\sqrt{3}x+y}{(x-\sqrt{3}y)}$$
2. Найдем уравнение траекторий для которых где $\varphi$ отсчитывается от искомой кривой к исходной кривой:
$$\frac{y'-y_2'}{1+y'y_2'}=\tan \varphi$$
$$\frac{\dfrac{y}{x}-y_1'}{1+\dfrac{y}{x}y_1'}=\sqrt{3}$$
$$y-xy_1' =\sqrt{3}(x+yy_1')$$
$$y_2'(\sqrt{3}y+x) =y-\sqrt{3}x$$
$$y_2' =\frac{y-\sqrt{3}x}{\sqrt{3}y+x}$$
Таким образом, дифференциальные уравнения траекторий, пересекающих исходное семейство линий под углом $\varphi=60^o$ имеют вид:
$$y'= \frac{\sqrt{3}x+y}{(x-\sqrt{3}y)}; \ y' =\frac{y-\sqrt{3}x}{\sqrt{3}y+x}.$$