Задача 40. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Составить дифференциальное уравнение траекторий, пересекающих семейство линий под заданным углом: \(x^2+y^2=a^2\), \(\varphi=45^o\).

Решение
Составим дифференциальное уравнение семейства линий.
Продифференцируем уравнение:
\[2x+2yy' \ \Rightarrow \ y'=-\frac{x}{y}\]
1. Найдем уравнение траекторий для которых где \(\varphi\) отсчитывается от исходной кривой к искомой кривой:
\[\frac{y_1'-y'}{1+y'y_1'}=\tan \varphi\]
\[\frac{y_1'+\dfrac{x}{y}}{1-\dfrac{x}{y}y_1'}=1\]
\[y_1'+\dfrac{x}{y}=1-\dfrac{x}{y}y_1'\]
\[y_1'y+x=y-xy_1'\]
\[y_1'(y+x)=y-x\]
\[y_1'=\frac{y-x}{y+x}\]
2. Найдем уравнение траекторий для которых где \(\varphi\) отсчитывается от искомой кривой к исходной кривой:
\[\frac{y'-y_2'}{1+y'y_2'}=\tan \varphi\]
\[\frac{-\dfrac{x}{y}-y_2'}{1-\dfrac{x}{y}y_2'}=1\]
\[-\dfrac{x}{y}-y_2'=1-\dfrac{x}{y}y_2'\]
\[-x-yy_2'=y-xy_2'\]
\[y_2'(x-y)=y+x\]
\[y_2'=\frac{y+x}{x-y}\]
Таким образом, дифференциальные уравнения траекторий, пересекающих исходное семейство линий под углом \(\varphi=45^o\) имеют вид:
\[y'=\frac{y-x}{y+x}; \ y'=\frac{y+x}{x-y}.\]