Задача 40. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Составить дифференциальное уравнение траекторий, пересекающих семейство линий под заданным углом: $x^2+y^2=a^2$, $\varphi=45^o$.

Решение
Составим дифференциальное уравнение семейства линий.
Продифференцируем уравнение:
$$2x+2yy' \ \Rightarrow \ y'=-\frac{x}{y}$$
1. Найдем уравнение траекторий для которых где $\varphi$ отсчитывается от исходной кривой к искомой кривой:
$$\frac{y_1'-y'}{1+y'y_1'}=\tan \varphi$$
$$\frac{y_1'+\dfrac{x}{y}}{1-\dfrac{x}{y}y_1'}=1$$
$$y_1'+\dfrac{x}{y}=1-\dfrac{x}{y}y_1'$$
$$y_1'y+x=y-xy_1'$$
$$y_1'(y+x)=y-x$$
$$y_1'=\frac{y-x}{y+x}$$
2. Найдем уравнение траекторий для которых где $\varphi$ отсчитывается от искомой кривой к исходной кривой:
$$\frac{y'-y_2'}{1+y'y_2'}=\tan \varphi$$
$$\frac{-\dfrac{x}{y}-y_2'}{1-\dfrac{x}{y}y_2'}=1$$
$$-\dfrac{x}{y}-y_2'=1-\dfrac{x}{y}y_2'$$
$$-x-yy_2'=y-xy_2'$$
$$y_2'(x-y)=y+x$$
$$y_2'=\frac{y+x}{x-y}$$
Таким образом, дифференциальные уравнения траекторий, пересекающих исходное семейство линий под углом $\varphi=45^o$ имеют вид:
$$y'=\frac{y-x}{y+x}; \ y'=\frac{y+x}{x-y}.$$