Изогональные траектории в полярных координатах

Линию, пересекающую под определенным углом \(\varphi \neq 90^o\) каждую из кривых данного однопараметрического семейства \(\Phi(r,\theta,C)=0\) (дифференциальное уравнение данного семейства кривых имеет вид \(F(r,\theta,r')=0\)), называют изогональной траекторией этого семейства. Изогональные траектории данного семейства кривых образуют новое семейство линий.

В случае ортогональных траекторий, имеется всего одно семейство кривых. Но если \(\varphi \neq 90^o\), то можно построить два семейства кривых, в зависимости от того, как отсчитывать угол \(\varphi\) (от исходной кривой к изогональной или наоборот).

Изогональные траектории находятся аналогично ортогональным, но в случае изогональных траекторий производные связаны следующим образом:
\[r_{изог}'=\frac{rr'\pm r^2\tan \varphi}{r \mp r' \tan \varphi}\]
Соответственно уравнение изогональных траекторий в полярных координатах имеет вид:
\[F(r,\theta,\frac{rr'\pm r^2\tan \varphi}{r \mp r' \tan \varphi})=0.\]

Итак, чтобы найти уравнение семейства изогональных траекторий для определенного однопараметрического семейства кривых, необходимо:
1) написать дифференциальное уравнение исходного семейства кривых;
2) заменить в этом уравнении \(r'\) на \(\dfrac{rr'\pm r^2\tan \varphi}{r \mp r' \tan \varphi}\);
3) найти общее решение получившегося дифференциального уравнения.

При решении задач на нахождение изогональных траекторий обычно пользуются формулами для каждого отдельного семейства изогональных траекторий, или находят только одно уравнение:
\[F(r,\theta,\frac{rr' + r^2\tan \varphi}{r - r' \tan \varphi})=0.\]

Пример. Составить дифференциальное уравнение изогональных траекторий, пересекающих семейство линий \(r=a \sin \theta\) под углом \(\varphi=45^o\).
Составим дифференциальное уравнение семейства линий:
\[r'=a \cos \theta \ \Rightarrow \ a=\frac{r'}{\cos \theta} \ \Rightarrow \ r=\frac{r'}{\cos \theta} \sin \theta \]
Получаем дифференциальное уравнение исходного семейства линий:
\[r'=r\ \text{ctg} \theta\]
1. Заменим \(r'\) на \(\dfrac{rr'+ r^2\tan \varphi}{r - r' \tan \varphi}\):

\[\dfrac{rr'+ r^2\tan \varphi}{r - r' \tan \varphi}=r \ \text{ctg} \theta\]
Упрощая, получим:
\[r'=r \frac{\text{ctg} \theta-1}{1+\text{ctg} \theta}\]
2. Заменим \(r'\) на \(\dfrac{rr'- r^2\tan \varphi}{r + r' \tan \varphi}\):
\[\dfrac{rr'- r^2\tan \varphi}{r + r' \tan \varphi}=r \ \text{ctg} \theta\]
Упрощая, получим:
\[r'=r \frac{\text{ctg} \theta+1}{1-\text{ctg} \theta}\]
Таким образом, дифференциальные уравнения изогональных траекторий, пересекающих исходное семейство линий под углом \(\varphi=45^o\) имеют вид:
\[r'=r \frac{\text{ctg} \theta-1}{1+\text{ctg} \theta}; \ r'=r \frac{\text{ctg} \theta+1}{1-\text{ctg} \theta}.\]