Изогональные траектории в полярных координатах

Линию, пересекающую под определенным углом $\varphi \neq 90^o$ каждую из кривых данного однопараметрического семейства $\Phi(r,\theta,C)=0$ (дифференциальное уравнение данного семейства кривых имеет вид $F(r,\theta,r')=0$), называют изогональной траекторией этого семейства. Изогональные траектории данного семейства кривых образуют новое семейство линий.

В случае ортогональных траекторий, имеется всего одно семейство кривых. Но если $\varphi \neq 90^o$, то можно построить два семейства кривых, в зависимости от того, как отсчитывать угол $\varphi$ (от исходной кривой к изогональной или наоборот).

Изогональные траектории находятся аналогично ортогональным, но в случае изогональных траекторий производные связаны следующим образом:
$$r_{изог}'=\frac{rr'\pm r^2\tan \varphi}{r \mp r' \tan \varphi}$$
Соответственно уравнение изогональных траекторий в полярных координатах имеет вид:
$$F(r,\theta,\frac{rr'\pm r^2\tan \varphi}{r \mp r' \tan \varphi})=0.$$

Итак, чтобы найти уравнение семейства изогональных траекторий для определенного однопараметрического семейства кривых, необходимо:
1) написать дифференциальное уравнение исходного семейства кривых;
2) заменить в этом уравнении $r'$ на $\dfrac{rr'\pm r^2\tan \varphi}{r \mp r' \tan \varphi}$;
3) найти общее решение получившегося дифференциального уравнения.

При решении задач на нахождение изогональных траекторий обычно пользуются формулами для каждого отдельного семейства изогональных траекторий, или находят только одно уравнение:
$$F(r,\theta,\frac{rr' + r^2\tan \varphi}{r - r' \tan \varphi})=0.$$

Пример. Составить дифференциальное уравнение изогональных траекторий, пересекающих семейство линий $r=a \sin \theta$ под углом $\varphi=45^o$.
Составим дифференциальное уравнение семейства линий:
$$r'=a \cos \theta \ \Rightarrow \ a=\frac{r'}{\cos \theta} \ \Rightarrow \ r=\frac{r'}{\cos \theta} \sin \theta$$
Получаем дифференциальное уравнение исходного семейства линий:
$$r'=r\ \text{ctg} \theta$$
1. Заменим $r'$ на $\dfrac{rr'+ r^2\tan \varphi}{r - r' \tan \varphi}$:

$$\dfrac{rr'+ r^2\tan \varphi}{r - r' \tan \varphi}=r \ \text{ctg} \theta$$
Упрощая, получим:
$$r'=r \frac{\text{ctg} \theta-1}{1+\text{ctg} \theta}$$
2. Заменим $r'$ на $\dfrac{rr'- r^2\tan \varphi}{r + r' \tan \varphi}$:
$$\dfrac{rr'- r^2\tan \varphi}{r + r' \tan \varphi}=r \ \text{ctg} \theta$$
Упрощая, получим:
$$r'=r \frac{\text{ctg} \theta+1}{1-\text{ctg} \theta}$$
Таким образом, дифференциальные уравнения изогональных траекторий, пересекающих исходное семейство линий под углом $\varphi=45^o$ имеют вид:
$$r'=r \frac{\text{ctg} \theta-1}{1+\text{ctg} \theta}; \ r'=r \frac{\text{ctg} \theta+1}{1-\text{ctg} \theta}.$$