Задача 47. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Составить дифференциальное уравнение траекторий, пересекающих семейство линий под заданным углом: \(y=x \ln x+Cx\), \(\varphi=\text{arctg} \ 2\).

Решение
Составим дифференциальное уравнение семейства линий:
\[y'=\ln x+\frac{x}{x}+C \ \Rightarrow \ C=y'-\ln x-1 \]
Подставим \(C\) в исходное уравнение:
\[y=x \ln x+(y'-\ln x-1 )x \ \Rightarrow \ y'=\frac{y+x}{x} \]
1. Найдем уравнение траекторий для которых где \(\varphi\) отсчитывается от исходной кривой к искомой кривой:
\[\frac{y_1'-y'}{1+y'y_1'}=\tan \varphi\]
\[\frac{y_1'-\dfrac{y+x}{x}}{1+\dfrac{y+x}{x}y_1'}=\tan (\text{arctg} \ 2)=2\]
\[\frac{xy_1'-y-x}{x+(y+x)y_1'}=2\]
\[xy_1'-y-x=2x+2(y+x)y_1'\]
\[y_1'(x-2x-2y)=3x+y\]
\[y_1'=-\frac{3x+y}{x+2y}\]
2. Найдем уравнение траекторий для которых где \(\varphi\) отсчитывается от искомой кривой к исходной кривой:
\[\frac{y'-y_2'}{1+y'y_2'}=\tan \varphi\]
\[\frac{\dfrac{y+x}{x}-y_2'}{1+\dfrac{y+x}{x}y_2'}=\tan (\text{arctg} \ 2)=2\]
\[\frac{y+x-xy_2'}{x+(y+x)y_2'}=2\]
\[y+x-xy_2'=2x+2(y+x)y_2'\]
\[y_2'(2y+2x+x)=y+x-2x\]
\[y_2'(2y+3x)=y-x\]
\[y_2'=\frac{y-x}{2y+3x}\]
Таким образом, дифференциальные уравнения траекторий, пересекающих исходное семейство линий под углом \(\varphi=\text{arctg} \ 2\) имеют вид:
\[y'=-\frac{3x+y}{x+2y}; \ y'=\frac{y-x}{2y+3x}.\]