Задача 47. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Составить дифференциальное уравнение траекторий, пересекающих семейство линий под заданным углом: $y=x \ln x+Cx$, $\varphi=\text{arctg} \ 2$.

Решение
Составим дифференциальное уравнение семейства линий:
$$y'=\ln x+\frac{x}{x}+C \ \Rightarrow \ C=y'-\ln x-1$$
Подставим $C$ в исходное уравнение:
$$y=x \ln x+(y'-\ln x-1 )x \ \Rightarrow \ y'=\frac{y+x}{x}$$
1. Найдем уравнение траекторий для которых где $\varphi$ отсчитывается от исходной кривой к искомой кривой:
$$\frac{y_1'-y'}{1+y'y_1'}=\tan \varphi$$
$$\frac{y_1'-\dfrac{y+x}{x}}{1+\dfrac{y+x}{x}y_1'}=\tan (\text{arctg} \ 2)=2$$
$$\frac{xy_1'-y-x}{x+(y+x)y_1'}=2$$
$$xy_1'-y-x=2x+2(y+x)y_1'$$
$$y_1'(x-2x-2y)=3x+y$$
$$y_1'=-\frac{3x+y}{x+2y}$$
2. Найдем уравнение траекторий для которых где $\varphi$ отсчитывается от искомой кривой к исходной кривой:
$$\frac{y'-y_2'}{1+y'y_2'}=\tan \varphi$$
$$\frac{\dfrac{y+x}{x}-y_2'}{1+\dfrac{y+x}{x}y_2'}=\tan (\text{arctg} \ 2)=2$$
$$\frac{y+x-xy_2'}{x+(y+x)y_2'}=2$$
$$y+x-xy_2'=2x+2(y+x)y_2'$$
$$y_2'(2y+2x+x)=y+x-2x$$
$$y_2'(2y+3x)=y-x$$
$$y_2'=\frac{y-x}{2y+3x}$$
Таким образом, дифференциальные уравнения траекторий, пересекающих исходное семейство линий под углом $\varphi=\text{arctg} \ 2$ имеют вид:
$$y'=-\frac{3x+y}{x+2y}; \ y'=\frac{y-x}{2y+3x}.$$