Задача 48. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Составить дифференциальное уравнение траекторий, пересекающих семейство линий под заданным углом: $x^2+y^2=2ax$, $\varphi=45^o$.

Решение
Составим дифференциальное уравнение семейства линий:
$$2x+2yy'=2a \ \Rightarrow \ a=x+yy'$$
Подставим $a$ в исходное уравнение:
$$x^2+y^2=2(x+yy')x$$
$$x^2+y^2=2x^2+2xyy'$$
$$y^2-x^2=2xyy'$$
$$y'=\frac{y^2-x^2}{2xy}$$
1. Найдем уравнение траекторий для которых где $\varphi$ отсчитывается от исходной кривой к искомой кривой:
$$\frac{y_1'-y'}{1+y'y_1'}=\tan \varphi$$
$$\frac{y_1'-\dfrac{y^2-x^2}{2xy}}{1+\dfrac{y^2-x^2}{2xy}y_1'}=1$$
$$\frac{2xyy_1'-y^2+x^2}{2xy+(y^2-x^2)y_1'}=1$$
$$2xyy_1'-y^2+x^2=2xy+(y^2-x^2)y_1'$$
$$y_1'(2xy-y^2+x^2)=y^2-x^2+2xy$$
$$y_1'=\frac{y^2-x^2+2xy}{2xy-y^2+x^2}$$
2. Найдем уравнение траекторий для которых где $\varphi$ отсчитывается от искомой кривой к исходной кривой:
$$\frac{y'-y_2'}{1+y'y_2'}=\tan \varphi$$
$$\frac{\dfrac{y^2-x^2}{2xy}-y_2'}{1+\dfrac{y^2-x^2}{2xy}y_2'}=1$$
$$\frac{y^2-x^2-2xyy_2'}{2xy+(y^2-x^2)y_2'}=1$$
$$y^2-x^2-2xyy_2'=2xy+(y^2-x^2)y_2'$$
$$y_2'(x^2-y^2-2xy)=2xy-y^2+x^2$$
$$y_2'=\frac{2xy-y^2+x^2}{x^2-y^2-2xy}$$
Таким образом, дифференциальные уравнения траекторий, пересекающих исходное семейство линий под углом $\varphi=45^o$ имеют вид:
$$y'=\frac{y^2-x^2+2xy}{2xy-y^2+x^2}; \ y'=\frac{2xy-y^2+x^2}{x^2-y^2-2xy}.$$