Задача 49. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Составить дифференциальное уравнение траекторий, пересекающих семейство линий под заданным углом: $x^2+C^2=2Cy$, $\varphi=90^o$.

Решение
Составим дифференциальное уравнение семейства линий:
$$2x=2Cy' \ \Rightarrow \ C=\frac{x}{y'}$$
Подставим $C$ в исходное уравнение:
$$x^2+\frac{x^2}{y'^2}=2y\frac{x}{y'}$$
$$y'^2x+x=2yy'$$
Для кривых пересекающих данное семейство под углом $\varphi=90^o$ (кривые перпендикулярны) производная равна $-1/y'$, соответственно уравнение будет иметь вид:
$$\frac{x}{y'^2}+x=-\frac{2y}{y'}$$
$$x +xy'^2=-2yy'$$
Таким образом, дифференциальное уравнение траекторий, пересекающих исходное семейство линий под углом $\varphi=90^o$ имеет вид:
$$x +xy'^2=-2yy'$$