Задача 49. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Составить дифференциальное уравнение траекторий, пересекающих семейство линий под заданным углом: \(x^2+C^2=2Cy\), \(\varphi=90^o\).

Решение
Составим дифференциальное уравнение семейства линий:
\[2x=2Cy' \ \Rightarrow \ C=\frac{x}{y'}\]
Подставим \(C\) в исходное уравнение:
\[x^2+\frac{x^2}{y'^2}=2y\frac{x}{y'}\]
\[y'^2x+x=2yy'\]
Для кривых пересекающих данное семейство под углом \(\varphi=90^o\) (кривые перпендикулярны) производная равна \(-1/y'\), соответственно уравнение будет иметь вид:
\[\frac{x}{y'^2}+x=-\frac{2y}{y'}\]
\[x +xy'^2=-2yy'\]
Таким образом, дифференциальное уравнение траекторий, пересекающих исходное семейство линий под углом \(\varphi=90^o\) имеет вид:
\[x +xy'^2=-2yy'\]