Задача 50. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Составить дифференциальное уравнение траекторий, пересекающих семейство линий под заданным углом: \(y=Cx+C^3\), \(\varphi=90^o\).

Решение
Составим дифференциальное уравнение семейства линий:
\[y'=C \ \Rightarrow\ C=y'\]
Подставим \(C\) в исходное уравнение:
\[y=xy'+y'^3\]
Для кривых пересекающих данное семейство под углом \(\varphi=90^o\) (кривые перпендикулярны) производная равна \(-1/y'\), соответственно уравнение будет иметь вид:
\[y=-\frac{x}{y'}-\frac{1}{y'^3}\]
\[yy'^3+xy'^2+1=0\]
Таким образом, дифференциальное уравнение траекторий, пересекающих исходное семейство линий под углом \(\varphi=90^o\) имеет вид:
\[yy'^3+xy'^2+1=0\]