Задача 50. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Составить дифференциальное уравнение траекторий, пересекающих семейство линий под заданным углом: $y=Cx+C^3$, $\varphi=90^o$.

Решение
Составим дифференциальное уравнение семейства линий:
$$y'=C \ \Rightarrow\ C=y'$$
Подставим $C$ в исходное уравнение:
$$y=xy'+y'^3$$
Для кривых пересекающих данное семейство под углом $\varphi=90^o$ (кривые перпендикулярны) производная равна $-1/y'$, соответственно уравнение будет иметь вид:
$$y=-\frac{x}{y'}-\frac{1}{y'^3}$$
$$yy'^3+xy'^2+1=0$$
Таким образом, дифференциальное уравнение траекторий, пересекающих исходное семейство линий под углом $\varphi=90^o$ имеет вид:
$$yy'^3+xy'^2+1=0$$