Задача 52. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение и построить несколько интегральных кривых: $\sqrt{y^2+1}\ dx=xy\ dy$.

Решение
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
$$\frac{1}{x}\ dx= \frac{y}{\sqrt{y^2+1}}\ dy$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{1}{x}\ dx=\int \frac{y}{\sqrt{y^2+1}}\ dy$$
$$\int \frac{1}{x}\ dx=ln|x|+C$$
$$\int \frac{y}{\sqrt{y^2+1}}\ dy=\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{y^2+1}}\ d(y^2+1)=\sqrt{y^2+1}+C$$
Получаем: $ln|x|=\sqrt{y^2+1}+C$.
Так как $y^2+1\gt 0$ при любых $y$, то при делении на $x\sqrt{y^2+1}$ могло быть потеряно решение $x =0$. Очевидно, $x =0$ является решением уравнения.

Ответ: $ln|x|=\sqrt{y^2+1}+C; \ x=0$.

Интегральные кривые: