Задача 52. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение и построить несколько интегральных кривых: \(\sqrt{y^2+1}\ dx=xy\ dy\).

Решение
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{1}{x}\ dx= \frac{y}{\sqrt{y^2+1}}\ dy\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{1}{x}\ dx=\int \frac{y}{\sqrt{y^2+1}}\ dy\]
\[\int \frac{1}{x}\ dx=ln|x|+C\]
\[\int \frac{y}{\sqrt{y^2+1}}\ dy=\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{y^2+1}}\ d(y^2+1)=\sqrt{y^2+1}+C\]
Получаем: \(ln|x|=\sqrt{y^2+1}+C\).
Так как \(y^2+1\gt 0\) при любых \(y\), то при делении на \(x\sqrt{y^2+1}\) могло быть потеряно решение \(x =0\). Очевидно, \(x =0\) является решением уравнения.

Ответ: \(ln|x|=\sqrt{y^2+1}+C; \ x=0\).

Интегральные кривые: