Задача 53. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение и построить несколько интегральных кривых: \((x^2-1)y'+2xy^2=0\), \(y(0)=1\).

Решение
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[(x^2-1) \ dy=-2xy^2\ dx\]
\[\frac{1}{y^2}dy=- \frac{2x}{x^2-1}dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{1}{y^2}dy=-\int \frac{2x}{x^2-1}dx\]
\[\int \frac{1}{y^2}dy=-\frac{1}{y}+C\]
\[\int \frac{2x}{x^2-1}dx=\int \frac{d(x^2-1)}{x^2-1}=-(ln|x^2-1|+C)\]
\[\frac{1}{y}=ln|x^2-1|+C\]
\[y(ln|x^2-1|+C)=1\]
При делении на \(y^2(x^2-1)\) могли быть потеряны решения \(y = 0\) и \(x =\pm 1\). Очевидно, \(y = 0\) является решением уравнения; \(x =\pm 1\) не является решением уравнения.

Таким образом, решение уравнение:
\[y(ln|x^2-1|+C)=1; \ y=0.\]

Найдем решение для условия \(y(0)=1\). Подставим условие в общее уравнение:
\[y(ln|x^2-1|+C)=1 \ \Rightarrow \ 1(ln|0^2-1|+C)=1 \ \Rightarrow \ C=1\]
Получаем, для данного условия решение имеет вид: \(y(ln|x^2-1|+1)=1\).

Интегральные кривые: