Задача 53. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение и построить несколько интегральных кривых: $(x^2-1)y'+2xy^2=0$, $y(0)=1$.

Решение
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
$$(x^2-1) \ dy=-2xy^2\ dx$$
$$\frac{1}{y^2}dy=- \frac{2x}{x^2-1}dx$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{1}{y^2}dy=-\int \frac{2x}{x^2-1}dx$$
$$\int \frac{1}{y^2}dy=-\frac{1}{y}+C$$
$$\int \frac{2x}{x^2-1}dx=\int \frac{d(x^2-1)}{x^2-1}=-(ln|x^2-1|+C)$$
$$\frac{1}{y}=ln|x^2-1|+C$$
$$y(ln|x^2-1|+C)=1$$
При делении на $y^2(x^2-1)$ могли быть потеряны решения $y = 0$ и $x =\pm 1$. Очевидно, $y = 0$ является решением уравнения; $x =\pm 1$ не является решением уравнения.

Таким образом, решение уравнение:
$$y(ln|x^2-1|+C)=1; \ y=0.$$

Найдем решение для условия $y(0)=1$. Подставим условие в общее уравнение:
$$y(ln|x^2-1|+C)=1 \ \Rightarrow \ 1(ln|0^2-1|+C)=1 \ \Rightarrow \ C=1$$
Получаем, для данного условия решение имеет вид: $y(ln|x^2-1|+1)=1$.

Интегральные кривые: