Processing math: 100%

Задача 54. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение и построить несколько интегральных кривых: yctg x+y=2. Найти решения, удовлетворяющие начальным условиям: y(x)1 при x0.

Решение
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
ctg x dy=(2y)dx

12ydy=1ctg xdx

Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
12ydy=1ctg xdx

12ydy=ln|y2|+C

1ctg xdx=sinxcosxdx=d(cosx)cosx=ln|cosx|+C

ln|y2|=ln|cosx|+lnC1

Получаем: y2=C1cosx.
При делении на (2y)ctg x могли быть потеряны решения y=2 и ctg x=0. Решение y=2 входит в общее решение при C1=0, x=π/2+nπ не является решением уравнения.

Таким образом, решение уравнение: y2=C1cosx.

Найдем решение для условия y(x)1 при x0. Подставим условие в общее уравнение:

y2=C1cosx  12=C1cos(0)  C1=3.

Получаем, для данного условия решение имеет вид: y2=3cosx.

Интегральные кривые:
Задача 54. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Комментариев нет:

Отправить комментарий