Задача 54. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение и построить несколько интегральных кривых: \(y' \text{ctg}\ x+y=2\). Найти решения, удовлетворяющие начальным условиям: \(y(x)\to-1\) при \(x\to0\).

Решение
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\text{ctg}\ x \ dy=(2-y)dx\]
\[\frac{1}{2-y}dy=\frac{1}{\text{ctg}\ x } dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{1}{2-y}dy=\int \frac{1}{\text{ctg}\ x } dx\]
\[\int \frac{1}{2-y}dy=-\ln|y-2|+C\]
\[\int \frac{1}{\text{ctg}\ x } dx=\int \frac{\sin x}{\cos x } dx=-\int \frac{d(\cos x)}{\cos x }
=-\ln|\cos x|+C\]
\[\ln|y-2|=\ln|\cos x|+\ln C_1\]
Получаем: \(y-2=C_1\cos x\).
При делении на \((2-y)\text{ctg}\ x\) могли быть потеряны решения \(y =2\) и \(\text{ctg}\ x =0\). Решение \(y = 2\) входит в общее решение при \(C_1=0\), \(x=\pi/2+n\pi\) не является решением уравнения.

Таким образом, решение уравнение: \(y-2=C_1\cos x\).

Найдем решение для условия \(y(x)\to-1\) при \(x\to0\). Подставим условие в общее уравнение:

\[y-2=C_1\cos x \ \Rightarrow \ -1-2=C_1\cos(0) \ \Rightarrow \ C_1=-3.\]
Получаем, для данного условия решение имеет вид: \(y-2=-3\cos x\).

Интегральные кривые: