Задача 55. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение и построить несколько интегральных кривых: \(y'=3\sqrt[3]{y^2}\). Найти решения, удовлетворяющие начальным условиям: \(y(2)=0\).

Решение
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{1}{3\sqrt[3]{y^2}} dy=dx\]
\[\frac{1}{3}y^{-\frac{2}{3}} dy=dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{1}{3}y^{-\frac{2}{3}} dy=\int dx\]
\[y^\frac{1}{3}=x+C\]
\[y=(x+C)^3\]
При делении на \(\sqrt[3]{y^2}\) могло быть потеряно решение \(y =0\). Очевидно, \(y =0\) является решением.

Таким образом, решение уравнение: \(y=(x+C)^3\); \(y =0\).

Найдем решение для условия \(y(2)=0\). Подставим условие в общее уравнение:
\[y=(x+C)^3 \ \Rightarrow \ 0=(2+C)^3 \ \Rightarrow \ C=-2\]
Получаем, для данного условия решение имеет вид: \(y=(x-2)^3\).

Интегральные кривые: