Задача 56. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение и построить несколько интегральных кривых: \(xy'+y=y^2\). Найти решения, удовлетворяющие начальным условиям: \(y(1)=0.5\).

Решение
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[xy'=y^2-y\]
\[\frac{1}{y^2-y}dy=\frac{1}{x}dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{1}{y^2-y}dy=\int \frac{1}{x}dx\]
\[\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C\]
\[\int \frac{1}{y^2-y}dy=\int \frac{1}{y(y-1)}dy=\int \frac{1}{y-1}dy-\int \frac{1}{y}dy=\\=\ln|y-1|-\ln|y|+C=\ln\lvert\frac{y-1}{y}\rvert+C\]
\[\ln |x|+\ln C_1 =\ln\lvert\frac{y-1}{y}\rvert\]
\[xC_1=\frac{y-1}{y}\]
\[y(1-xC_1)=1\]
При делении на \(y(y-1)x\) могли быть потеряны решения \(y =0\), \(y =1\), \(x =0\). Решение \(y =1\) входит в общее решение при \(C_1=0\). Очевидно, \(y =0\) является решением, \(x=0\) решением не является.

Таким образом, решение уравнение: \(y(1-xC_1)=1\); \(y =0\).

Найдем решение для условия \(y(1)=0.5\). Подставим условие в общее уравнение:

\[y(1-xC_1)=1 \ \Rightarrow \ 0.5(1-C_1)=1 \ \Rightarrow \ C_1=-1\]
Получаем, для данного условия решение имеет вид: \(y(1+x)=1\).

Интегральные кривые: