Задача 57. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение и построить несколько интегральных кривых: \(2x^2yy'+y^2=2\).

Решение
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[2x^2yy'=2-y^2\]
\[\frac{2y}{y^2-2} dy= -\frac{1}{x^2} dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{2y}{y^2-2} dy=-\int \frac{1}{x^2} dx\]
\[\int \frac{2y}{y^2-2} dy= \int \frac{d(y^2-2)}{y^2-2}=\ln |y^2-2|+C \]
\[-\int \frac{1}{x^2} dx=\frac{1}{x}+C\]
\[\ln |y^2-2|=\frac{1}{x}+C\]
\[y^2-2=C_1e^\dfrac{1}{x}\]
При делении на \((y^2-2)x^2\) могли быть потеряны решения \(y =\pm \sqrt{2}\), \(x =0\). Решение \(y =\pm \sqrt{2}\) входит в общее решение при \(C_1=0\). Очевидно, \(x=0\) решением не является.

Таким образом, решение уравнение: \(y^2-2=C_1e^{1/x}\).

Интегральные кривые: