Задача 58. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение и построить несколько интегральных кривых: \(y'-xy^2=2xy\).

Решение
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[y'=xy(y+2)\]
\[\frac{1}{y(y+2)} dy=x\ dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{1}{y(y+2)} dy=\int x\ dx\]
\[\int \frac{1}{y(y+2)} dy =\frac{1}{2}\int \frac{1}{y} dy-\frac{1}{2}\int \frac{1}{y+2} dy=\frac{1}{2}\ln |\frac{y}{y+2}|+C\]
\[\int x\ dx=\frac{x^2}{2}+C\]
Получаем:
\[\ln |\frac{y}{y+2}|=x^2+C\]
\[\frac{y}{y+2}=C_1e^{x^2}\]
\[y=(y+2)C_1e^{x^2}\]
\[y(1-C_1e^{x^2})=2C_1e^{x^2}\]
\[y(C_1e^{-x^2}-1)=2\]
При делении на \(y(y+2)\) могли быть потеряны решения \(y=0\) и \(y=-2\). Решение \(y=-2\) входит в общее решение при \(C_1=0\), \(y=0\) является решением уравнения.

Таким образом, решение уравнение: \(y(C_1e^{-x^2}-1)=2\), \(y=0\).

Интегральные кривые: