Задача 59. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение и построить несколько интегральных кривых:
$$e^{-s}(1+\frac{ds}{dt})=1.$$

Решение
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
$$\frac{ds}{dt}=e^s-1$$
$$\frac{1}{e^s-1}ds=dt$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{1}{e^s-1}ds=\int dt$$
$$\int \frac{1}{e^s-1}ds=\int \frac{1}{e^s(e^s-1)}d(e^s)=\int \frac{1}{e^s-1}d(e^s)-\int \frac{1}{e^s}d(e^s)=\\=\ln |\frac{e^s-1}{e^s}|+C=\ln |1-e^{-s}|+C$$
Получаем:
$$\ln |1-e^{-s}|=t+C$$
$$1-e^{-s}=C_1e^t$$
При делении на $e^s-1$ могло быть потеряно решение $s=0$. Решение $s=0$ входит в общее решение при $C_1=0$.

Таким образом, решение уравнение: $1-e^{-s}=C_1e^t$.

Интегральные кривые: