Задача 59. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение и построить несколько интегральных кривых:
\[e^{-s}(1+\frac{ds}{dt})=1. \]

Решение
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{ds}{dt}=e^s-1\]
\[\frac{1}{e^s-1}ds=dt\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{1}{e^s-1}ds=\int dt \]
\[\int \frac{1}{e^s-1}ds=\int \frac{1}{e^s(e^s-1)}d(e^s)=\int \frac{1}{e^s-1}d(e^s)-\int \frac{1}{e^s}d(e^s)=\\=\ln |\frac{e^s-1}{e^s}|+C=\ln |1-e^{-s}|+C\]
Получаем:
\[\ln |1-e^{-s}|=t+C\]
\[1-e^{-s}=C_1e^t\]
При делении на \(e^s-1\) могло быть потеряно решение \(s=0\). Решение \(s=0\) входит в общее решение при \(C_1=0\).

Таким образом, решение уравнение: \(1-e^{-s}=C_1e^t\).

Интегральные кривые: