Задача 60. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение и построить несколько интегральных кривых: \(z'=10^{x+z}\).

Решение
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[z'=10^x10^z\]
\[10^{-z} \ dz = 10^x \ dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int 10^{-z} \ dz =\int 10^x \ dx\]
\[\int 10^{-z} \ dz =-\frac{10^{-z}}{\ln 10}+C\]
\[\int 10^x \ dx=\frac{10^x}{\ln 10}+C\]
Получаем:
\[-10^{-z}+C=10^x\]
\[10^{-z}=C-10^x\]
\[z=-\log_{10}(C-10^x)\]
Таким образом, решение уравнения: \(z=-\log_{10}(C-10^x)\).

Интегральные кривые: