Решим следующую задачу: по заданному уравнению семейства кривых написать уравнение семейства ортогональных траекторий этого семейства.
Пусть дифференциальное уравнение семейства имеет вид \(F(x,y,y')=0\). Если кривые пересекаются под прямым углом, то их угловые коэффициенты в точке пересечения взаимно обратны по величине и по знаку:
\[k_1=-\frac{1}{k_2}. \]
Но угловой коэффициент кривой данного семейства равен \(y'\). Отсюда следует, что угловой коэффициент \(y_{орт}'\) ортогональной к ней кривой в той же точке равен:
\[y_{орт}'=-\frac{1}{y'}. \]
Аналогично:
\[y'=-\frac{1}{y_{орт}'}. \]
Получается, что дифференциальное уравнение семейства ортогональных траекторий получается из дифференциального уравнения семейства кривых путем замены \(y'\) на \(-1/y'\).
Итак, чтобы найти уравнение семейства ортогональных траекторий для данного однопараметрического семейства плоских кривых, нужно:
1) написать дифференциальное уравнение данного семейства кривых;
2) заменить в этом уравнении \(y'\) на \(-1/y'\);
3) найти общее решение получившегося дифференциального уравнения.
Пример. Составить уравнение ортогональных траекторий семейства кривых заданых уравнением \(x^2=y+Cx\).
Выразим \(C\) из уравнения семейства кривых:
\[C=\frac{x^2-y}{x}\]
Продифференцировав уравнение семейства кривых и подставив \(C\), получим дифференциальное уравнение исходного семейства кривых\
\[y'=\frac{x^2+y}{x}\]
Заменив в этом уравнении \(y'\) на \(-1/y'\) получим дифференциальное уравнение ортогональных траекторий:
\[y'=-\frac{x}{x^2+y}.\]
Результат построения семейства кривых и семейства ортогональных траекторий:
Комментариев нет:
Отправить комментарий