Ортогональные траектории

Линию, пересекающую под прямым углом каждую из кривых данного однопараметрического семейства $\Phi(x,y,C)=0$, называют ортогональной траекторией этого семейства. Ортогональные траектории данного семейства кривых образуют новое семейство линий.

Решим следующую задачу: по заданному уравнению семейства кривых написать уравнение семейства ортогональных траекторий этого семейства.
Пусть дифференциальное уравнение семейства имеет вид $F(x,y,y')=0$. Если кривые пересекаются под прямым углом, то их угловые коэффициенты в точке пересечения взаимно обратны по величине и по знаку:
$$k_1=-\frac{1}{k_2}.$$
Но угловой коэффициент кривой данного семейства равен $y'$. Отсюда следует, что угловой коэффициент $y_{орт}'$ ортогональной к ней кривой в той же точке равен:
$$y_{орт}'=-\frac{1}{y'}.$$
Аналогично:
$$y'=-\frac{1}{y_{орт}'}.$$
Получается, что дифференциальное уравнение семейства ортогональных траекторий получается из дифференциального уравнения семейства кривых путем замены $y'$ на $-1/y'$.

Итак, чтобы найти уравнение семейства ортогональных траекторий для данного однопараметрического семейства плоских кривых, нужно:
1) написать дифференциальное уравнение данного семейства кривых;
2) заменить в этом уравнении $y'$ на $-1/y'$;
3) найти общее решение получившегося дифференциального уравнения.

Пример. Составить уравнение ортогональных траекторий семейства кривых заданых уравнением $x^2=y+Cx$.
Выразим $C$ из уравнения семейства кривых:
$$C=\frac{x^2-y}{x}$$
Продифференцировав уравнение семейства кривых и подставив $C$, получим дифференциальное уравнение исходного семейства кривых\
$$y'=\frac{x^2+y}{x}$$
Заменив в этом уравнении $y'$ на $-1/y'$ получим дифференциальное уравнение ортогональных траекторий:
$$y'=-\frac{x}{x^2+y}.$$
Результат построения семейства кривых и семейства ортогональных траекторий: