Задача 39. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Составить дифференциальное уравнение траекторий, пересекающих семейство линий под заданным углом: \(x^2=y+Cx\), \(\varphi=90^o\).

Решение
Составим дифференциальное уравнение.
Выразим \(C\):
\[C=\frac{x^2-y}{x}\]
Продифференцируем уравнение:
\[2x=y'+C \ \Rightarrow \ y'=2x-C\]
Подставим параметр \(C\):
\[y'=2x-C=2x-\frac{x^2-y}{x}=\frac{x^2+y}{x}\]
Для кривых пересекающих данное семейство под углом \(\varphi=90^o\) (кривые перпендикулярны) производная равна \(-1/y'\), соответственно уравнение будет иметь вид:
\[y'=-\frac{x}{x^2+y}.\]