Задача 46. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Составить дифференциальное уравнение траекторий, пересекающих семейство линий под заданным углом: $r=a \sin \theta$, $\varphi=45^o$.

Решение
Составим дифференциальное уравнение семейства линий:
$$r'=a \cos \theta \ \Rightarrow \ a=\frac{r'}{\cos \theta} \ \Rightarrow \ r=\frac{r'}{\cos \theta} \sin \theta$$
Получаем дифференциальное уравнение семейства линий:
$$r'=r\ \text{ctg} \theta$$
1. Заменим $r'$ на $\dfrac{rr'+ r^2\tan \varphi}{r - r' \tan \varphi}$:
$$\dfrac{rr'+ r^2\tan \varphi}{r - r' \tan \varphi}=r \ \text{ctg} \theta$$
$$\dfrac{r'+ r}{r - r'}=\text{ctg} \theta$$
$$r'+ r=(r - r')\text{ctg} \theta$$
$$r'(1+\text{ctg} \theta)=r \text{ctg} \theta-r$$
$$r'=r \frac{\text{ctg} \theta-1}{1+\text{ctg} \theta}$$
Приведем к более простому виду, учитывая что $\text{ctg} 45^o=1$:
$$r'=r \frac{\text{ctg} \theta\cdot \text{ctg} 45^o-1}{\text{ctg} \theta+\text{ctg} 45^o}=r \ \text{ctg} (\theta+45^o)$$
2. Заменим $r'$ на $\dfrac{rr'- r^2\tan \varphi}{r + r' \tan \varphi}$:
$$\dfrac{rr'- r^2\tan \varphi}{r + r' \tan \varphi}=r \ \text{ctg} \theta$$
$$\dfrac{r'- r}{r + r'}=\text{ctg} \theta$$
$$r'- r=(r + r')\text{ctg} \theta$$
$$r'(1-\text{ctg} \theta)=r(\text{ctg} \theta+1)$$
$$r'=r \frac{\text{ctg} \theta+1}{1-\text{ctg} \theta}$$
Приведем к более простому виду, учитывая что $\text{ctg} 45^o=1$:
$$r'=r \frac{\text{ctg} \theta\cdot \text{ctg} 45^o+1}{\text{ctg} 45^o-\text{ctg} \theta}=r \ \text{ctg} (\theta-45^o)$$
Таким образом, дифференциальные уравнения траекторий, пересекающих исходное семейство линий под углом $\varphi=45^o$ имеют вид:
$$r'=r \ \text{ctg} (\theta+45^o); \ r'=r \ \text{ctg} (\theta-45^o).$$