Задача 46. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Составить дифференциальное уравнение траекторий, пересекающих семейство линий под заданным углом: \(r=a \sin \theta\), \(\varphi=45^o\).

Решение
Составим дифференциальное уравнение семейства линий:
\[r'=a \cos \theta \ \Rightarrow \ a=\frac{r'}{\cos \theta} \ \Rightarrow \ r=\frac{r'}{\cos \theta} \sin \theta\]
Получаем дифференциальное уравнение семейства линий:
\[r'=r\ \text{ctg} \theta\]
1. Заменим \(r'\) на \(\dfrac{rr'+ r^2\tan \varphi}{r - r' \tan \varphi}\):
\[\dfrac{rr'+ r^2\tan \varphi}{r - r' \tan \varphi}=r \ \text{ctg} \theta\]
\[\dfrac{r'+ r}{r - r'}=\text{ctg} \theta\]
\[r'+ r=(r - r')\text{ctg} \theta\]
\[r'(1+\text{ctg} \theta)=r \text{ctg} \theta-r\]
\[r'=r \frac{\text{ctg} \theta-1}{1+\text{ctg} \theta}\]
Приведем к более простому виду, учитывая что \(\text{ctg} 45^o=1\):
\[r'=r \frac{\text{ctg} \theta\cdot \text{ctg} 45^o-1}{\text{ctg} \theta+\text{ctg} 45^o}=r \ \text{ctg} (\theta+45^o)\]
2. Заменим \(r'\) на \(\dfrac{rr'- r^2\tan \varphi}{r + r' \tan \varphi}\):
\[\dfrac{rr'- r^2\tan \varphi}{r + r' \tan \varphi}=r \ \text{ctg} \theta\]
\[\dfrac{r'- r}{r + r'}=\text{ctg} \theta\]
\[r'- r=(r + r')\text{ctg} \theta\]
\[r'(1-\text{ctg} \theta)=r(\text{ctg} \theta+1)\]
\[r'=r \frac{\text{ctg} \theta+1}{1-\text{ctg} \theta}\]
Приведем к более простому виду, учитывая что \(\text{ctg} 45^o=1\):
\[r'=r \frac{\text{ctg} \theta\cdot \text{ctg} 45^o+1}{\text{ctg} 45^o-\text{ctg} \theta}=r \ \text{ctg} (\theta-45^o)\]
Таким образом, дифференциальные уравнения траекторий, пересекающих исходное семейство линий под углом \(\varphi=45^o\) имеют вид:
\[r'=r \ \text{ctg} (\theta+45^o); \ r'=r \ \text{ctg} (\theta-45^o).\]