Задача 164. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

С помощью замены переменных или дифференцирования привести уравнение к линейному и решить его: \(\left(x^{2}-1\right) y'\sin y+2 x \cos y=2 x-2 x^{3}\).

Решение
Произведем замену \(z=\cos y\). Тогда:
\[z'=-\sin y \ y'\]
Получаем:
\[-(x^2-1)z'+2xz=2 x-2 x^{3}\]
\[z'-\frac{2xz}{x^2-1}=\frac{2x(x^2-1)}{x^2-1}\]
\[z'-\frac{2xz}{x^2-1}=2x\]

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Найдем решение однородного уравнения:
\[z'-\frac{2xz}{x^2-1}=0\]
Разделим переменные:
\[\frac{dz}{z}=2 \frac{xdx}{x^2-1} \]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{dz}{z}=\int \frac{xdx}{x^2-1} \]
\[\ln|z|=\ln|x^2-1|+\ln C\]
\[z=C(x^2-1)\]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(z=C(x^2-1)\).

Считая постоянную \(C\) функцией от \(x\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(z'=C'(x^2-1)+2Cx\), то:
\[C'(x^2-1)+2Cx-\frac{2C(x^2-1)x}{x^2-1}=2x\]
\[C'(x^2-1)=2x\]
\[C'=\frac{2x}{x^2-1}\]
\[C=\int \frac{2x}{x^2-1}=\ln|x^2-1|+\ln C_1=\ln \left(C(x^2-1)\right)\]

Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[z=C(x^2-1)=\ln \left(C(x^2-1)\right) (x^2-1)\]
Произведем обратную замену. Так как \(z=\cos y\):
\[\cos y=\ln \left(C(x^2-1)\right) (x^2-1)\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[\cos y=\ln \left(C(x^2-1)\right) (x^2-1).\]