Задача 164. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

С помощью замены переменных или дифференцирования привести уравнение к линейному и решить его: $\left(x^{2}-1\right) y'\sin y+2 x \cos y=2 x-2 x^{3}$.

Решение
Произведем замену $z=\cos y$. Тогда:
$$z'=-\sin y \ y'$$
Получаем:
$$-(x^2-1)z'+2xz=2 x-2 x^{3}$$
$$z'-\frac{2xz}{x^2-1}=\frac{2x(x^2-1)}{x^2-1}$$
$$z'-\frac{2xz}{x^2-1}=2x$$

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Найдем решение однородного уравнения:
$$z'-\frac{2xz}{x^2-1}=0$$
Разделим переменные:
$$\frac{dz}{z}=2 \frac{xdx}{x^2-1}$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{dz}{z}=\int \frac{xdx}{x^2-1}$$
$$\ln|z|=\ln|x^2-1|+\ln C$$
$$z=C(x^2-1)$$
Таким образом, решение однородного уравнения: $z=C(x^2-1)$.

Считая постоянную $C$ функцией от $x$, подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как $z'=C'(x^2-1)+2Cx$, то:
$$C'(x^2-1)+2Cx-\frac{2C(x^2-1)x}{x^2-1}=2x$$
$$C'(x^2-1)=2x$$
$$C'=\frac{2x}{x^2-1}$$
$$C=\int \frac{2x}{x^2-1}=\ln|x^2-1|+\ln C_1=\ln \left(C(x^2-1)\right)$$

Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
$$z=C(x^2-1)=\ln \left(C(x^2-1)\right) (x^2-1)$$
Произведем обратную замену. Так как $z=\cos y$:
$$\cos y=\ln \left(C(x^2-1)\right) (x^2-1)$$
Таким образом, решение исходного уравнения:
$$\cos y=\ln \left(C(x^2-1)\right) (x^2-1).$$