Задача 165. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

С помощью замены переменных или дифференцирования привести уравнение к линейному и решить его:
$$y(x)=\int_{0}^{x} y(t) \mathrm{d} t+x+1.$$

Решение
Пусть $Y(x)$ - первообразная для $y(x)$, то есть $Y'(x)=y(x)$, тогда:
$$\int_{0}^{x} y(t) \mathrm{d} t=Y(x)-Y(0)$$
Соответственно, если мы продифференцируем это равенство по $x$, получим:
$$\left(\int_{0}^{x} y(t) \mathrm{d} t\right)'=(Y(x)-Y(0))'=Y'(x)=y(x)$$

Теперь вернемся к уравнению. Взяв производную по $x$ от обеих частей исходного уравнения, получим:
$$y'=y+1$$
Или:
$$y'-y=1$$
Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Найдем решение однородного уравнения:
$$y'-y=0$$
Разделим переменные:
$$\frac{dy}{y}=dx$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{dy}{y}=\int dx$$
$$\ln|y|=x+\ln C$$
$$y=Ce^x$$
Таким образом, решение однородного уравнения: $y=Ce^x$.

Считая постоянную $C$ функцией от $x$, подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как $y'=C'e^x+Ce^x$, то:
$$C'e^x+Ce^x-Ce^x=1$$
$$C'=e^{-x}$$
$$C=\int e^{-x}=-e^{-x}+C_1$$
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
$$y=(-e^{-x}+C_1)e^x=C_1e^x-1$$
Таким образом, общее решение исходного уравнения:
$$y=C_1e^x-1$$

Исходное уравнение включает в себя начальное условие $y(0)=1$. Подставив начальное условие в общее решение, получим $C_1=2$.
Таким образом, решение исходного уравнения:
$$y=2e^x-1.$$