Задача 166. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

С помощью замены переменных или дифференцирования привести уравнение к линейному и решить его:
$$\int_{0}^{x}(x-t) y(t) \mathrm{d} t=2 x+\int_{0}^{x} y(t) \mathrm{d} t.$$

Решение
Пусть $Y(x)$ - первообразная для $y(x)$, то есть $Y'(x)=y(x)$, тогда:
$$\int_{0}^{x} y(t) \mathrm{d} t=Y(x)-Y(0)$$
Соответственно, если мы продифференцируем это равенство по $x$, получим:
$$\left(\int_{0}^{x} y(t) \mathrm{d} t\right)'=(Y(x)-Y(0))'=Y'(x)=y(x)$$

Теперь вернемся к уравнению. Рассмотрим левую часть уравнения:
$$\int_{0}^{x}(x-t) y(t) \ dt=x\int_{0}^{x} y(t) \ dt-\int_{0}^{x} ty(t) \ dt=x\int_{0}^{x} y(t) \ dt-\int_{0}^{x} t \ d(Y(t))$$

Для последнего интеграла воспользуемся формулой интегрирования по частям:
$$\int_{0}^{x} t \ d(Y(t))=tY(t)\Bigg|^x_0-\int_{0}^{x} Y(t)\ dt=xY(x)-\int_{0}^{x} Y(t)\ dt$$

Итак, получаем:
$$\int_{0}^{x}(x-t) y(t) \ dt=x\int_{0}^{x} y(t) \ dt-xY(x)+\int_{0}^{x} Y(t)\ dt$$

Уравнение приняло вид:
$$x\int_{0}^{x} y(t) \ dt-xY(x)+\int_{0}^{x} Y(t)\ dt=2 x+\int_{0}^{x} y(t) \mathrm{d} t.$$

Взяв производную по $x$ от обеих частей уравнения, получим:
$$\int_{0}^{x} y(t) \ dt+xy(x)-Y(x)-xy(x)+Y(x)=2+y(x)$$
$$\int_{0}^{x} y(t) \ dt=2+y(x)$$
Взяв производную по $x$ еще раз, получим:
$$y(x)=y'(x)$$
Или:
$$y'=y$$
Разделим переменные:
$$\frac{dy}{y}=dx$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{dy}{y}=\int dx$$
$$\ln|y|=x+\ln C$$
$$y=Ce^x$$
Таким образом, общее решение исходного уравнения:
$$y=Ce^x$$
Подставив $x=0$ в уравнение $\int_{0}^{x} y(t) \ dt=2+y(x)$, получим начальное условие:
$$y(0)=-2$$
Подставив начальное условие в общее решение, получим $C=-2$.
Таким образом, решение исходного уравнения:
$$y=-2e^x.$$