Задача 167. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Путем подбора найти частное решение, привести данное уравнение Риккати к уравнению Бернулли и решить его: $x^{2} y^{\prime}+x y+x^{2} y^{2}=4$.

Решение
Данное дифференциальное уравнение является уравнением Рикатти. Найдем частное решение.
Ищем частное решение в виде $y=ax^m$, где $a=const$. Подставив его в уравнение, получим:
$$x^2amx^{m-1}+xax^m+x^2a^2x^{2m}=4$$
$$amx^{m+1}+ax^{m+1}+a^2x^{2m+2}=4$$
Степени в правой и левой части должны совпадать, поэтому:$m+1=0$. Следовательно: $m=-1$.
Подставив $m=-1$, получим:
$$-a+a+a^2=4$$
Следовательно $a=2$.
Таким образом, частное решение:
$$y=\frac{2}{x}$$
Поскольку уже известно одно частное решение, проведем замену:
$$y=\frac{2}{x}+z$$
Найдем производную:
$$y'=z'-\frac{2}{x^2}$$
Подставим в исходное уравнение:
$$x^{2}\left(z'-\dfrac{2}{x^2}\right)+x\left(\dfrac{2}{x}+z\right) +x^{2} \left(\dfrac{2}{x}+z\right)^2=4$$
$$x^{2}z'-2+2+xz +4+4xz+x^2z^2=4$$
$$x^2z'+5xz+x^2z^2=0$$
$$z'+5\frac{z}{x}=-z^2$$

Данное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли ($n=2$). Для решения уравнения Бернулли необходимо обе его части разделить на $z^n$ и сделать замену $1/z^{n-1}=u$.
Разделим уравнение на $z^{2}$:
$$\frac{z'}{z^2}+\dfrac{5}{xz}=-1$$
Произведем замену $u=1/z$:
Так как $u'=-\dfrac{1}{z^2}z'$, то:
$$-u'+5\frac{u}{x}=-1$$
$$u'-5\frac{u}{x}=1$$

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Найдем решение однородного уравнения:
$$u'-5\frac{u}{x}=0$$
Разделим переменные:
$$\frac{du}{u}=5\frac{dx}{x}$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{du}{u}=5\int \frac{dx}{x}$$
$$\ln |u|=5\ln |x| +\ln C$$
$$u=Cx^5$$
Таким образом, решение однородного уравнения: $u=Cx^5$.
Считая постоянную $C$ функцией от $x$, подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как $u'=C'x^5+5Cx^4$, то:
$$C'x^5+5Cx^4-5\frac{Cx^5}{x}=1$$
$$C'x^5=1$$
$$C'=\frac{1}{x^5}$$
$$C=\int \frac{1}{x^5}=-\frac{1}{4x^4}+C_1$$

Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
$$u=(-\frac{1}{4x^4}+C_1)x^5=C_1x^5-\frac{x}{4}$$
Проведем обратные замены. Так как $u=1/z$ и $y=\dfrac{2}{x}+z$:
$$\frac{1}{z}=C_1x^5-\frac{x}{4}$$
$$z=\frac{4}{4C_1x^5-x}$$
$$y-\frac{2}{x}=\frac{4}{4C_1x^5-x}$$
$$y=\frac{2}{x}+\frac{4}{4C_1x^5-x}$$

Таким образом, решение исходного уравнения:
$$y=\frac{2}{x}+\frac{4}{4C_1x^5-x}.$$