Задача 168. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Путем подбора найти частное решение, привести данное уравнение Риккати к уравнению Бернулли и решить его: $3 y^{\prime}+y^{2}+\dfrac{2}{x^{2}}=0$.

Решение
Данное дифференциальное уравнение является уравнением Рикатти. Найдем частное решение.
Ищем частное решение в виде $y=\dfrac{a}{x}$, где $a=const$. Подставив его в уравнение, получим:
$$-3\frac{a}{x^2}+\frac{a^2}{x^2}+\dfrac{2}{x^{2}}=0$$
Получаем:
$$a^2-3a+2=0$$
$$a=\frac{3\pm1}{2}$$
$$a_1=2, a_2=1$$
Возьмем $a=1$, соответственно получаем частное решение:
$$y=\frac{1}{x}$$
Поскольку уже известно одно частное решение, проведем замену:
$$y=\frac{1}{x}+z$$
Найдем производную:
$$y'=z'-\frac{1}{x^2}$$
Подставим в исходное уравнение:
$$3 z'-\frac{3}{x^2}+\left(\frac{1}{x}+z\right)^{2}+\dfrac{2}{x^{2}}=0$$
$$3 z'-\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{2z}{x}+z^{2}+\dfrac{2}{x^{2}}=0$$
$$3 z'+\frac{2z}{x}+z^{2}=0$$
$$z'+\frac{2}{3}\frac{z}{x}=-\frac{1}{3}z^{2}$$

Данное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли ($n=2$). Для решения уравнения Бернулли необходимо обе его части разделить на $z^n$ и сделать замену $1/z^{n-1}=u$.
Разделим уравнение на $z^{2}$:
$$\frac{z'}{z^2}+\frac{2}{3}\frac{1}{zx}=-\frac{1}{3}$$
Произведем замену $u=1/z$:
Так как $u'=-\dfrac{1}{z^2}z'$, то:
$$-u'+\frac{2}{3}\frac{u}{x}=-\frac{1}{3}$$

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Найдем решение однородного уравнения:
$$-u'+\frac{2}{3}\frac{u}{x}=0$$
Разделим переменные:
$$\frac{du}{u}=\frac{2}{3}\frac{dx}{x}$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{du}{u}=\frac{2}{3}\int \frac{dx}{x}$$
$$\ln |u|=\frac{2}{3}\ln|x| +\ln C$$
$$u=Cx^{2/3}$$
Таким образом, решение однородного уравнения: $u=Cx^{2/3}$.

Считая постоянную $C$ функцией от $x$, подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как $u'=C'x^{2/3}+\dfrac{2}{3} Cx^{1/3}$, то:
$$-C'x^{2/3}-\dfrac{2}{3} Cx^{1/3}+\frac{2}{3}\frac{Cx^{2/3}}{x}=-\frac{1}{3}$$
$$C'x^{2/3}=\frac{1}{3}$$
$$C'=\frac{1}{3}x^{-2/3}$$
$$C=\frac{1}{3}\int x^{-2/3}=x^{1/3}+C_1$$
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
$$u=Cx^{2/3}=(x^{1/3}+C_1)x^{2/3}=x+C_1x^{2/3}$$

Проведем обратные замены. Так как $u=1/z$ и $y=\dfrac{1}{x}+z$:
$$\frac{1}{z}=x+C_1x^{2/3}$$
$$z=\frac{1}{x+C_1x^{2/3}}$$
$$y-\frac{1}{x}=\frac{1}{x+C_1x^{2/3}}$$
$$y=\frac{1}{x}+\frac{1}{x+C_1x^{2/3}}$$

Таким образом, решение исходного уравнения:
$$y=\frac{1}{x}+\frac{1}{x+C_1x^{2/3}}.$$