Задача 169. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Путем подбора найти частное решение, привести данное уравнение Риккати к уравнению Бернулли и решить его: \(x y^{\prime}-(2 x+1) y+y^{2}=-x^{2}\).

Решение
Данное дифференциальное уравнение является уравнением Рикатти. Найдем частное решение.
Ищем частное решение в виде \(y=ax+b\), где \(a\) и \(b\) постоянные. Подставив его в уравнение, получим:
\[xa-(2x+1)(ax+b)+(ax+b)^2=-x^2\]
\[xa-2ax^2-2bx-ax-b+a^2x^2+2abx+b^2=-x^2\]
\[x^2(a^2-2a)+x(2ab-2b)+b^2-b=-x^2\]
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях \(x\):
\[a^2-2a=-1 \\ 2ab-2b=0 \\ b^2-b=0\]
Одно из решений этой системы: \(a=1, \ b=0\). Соответственно получаем частное решение: \(y=x\).

Поскольку уже известно одно частное решение, проведем замену:
\[y=x+z\]
Найдем производную:
\[y'=1+z'\]
Подставим в исходное уравнение:
\[x (1+z')-(2 x+1) (x+z)+(x+z)^{2}=-x^{2}\]
\[x+xz'-2x^2-2xz-x-z+x^2+2xz+z^2=-x^2\]
\[xz'-z+z^2=0\]
\[z'-\frac{1}{x}z=-\frac{1}{x}z^2\]

Данное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли (\(n=2\)). Для решения уравнения Бернулли необходимо обе его части разделить на \(z^n\) и сделать замену \(1/z^{n-1}=u\).
Разделим уравнение на \(z^{2}\):
\[\frac{z'}{z^2}-\frac{1}{zx}=-\frac{1}{x}\]
Произведем замену \(u=1/z\):
Так как \(u'=-\dfrac{1}{z^2}z'\), то:
\[-u' -\frac{u}{x}=-\frac{1}{x}\]
Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Найдем решение однородного уравнения:
\[-u' -\frac{u}{x}=0\]
Разделим переменные:
\[\frac{du}{u}=-\frac{dx}{x} \]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{du}{u}=-\int \frac{dx}{x} \]
\[\ln |u|=-\ln|x|+\ln C \]
\[u=\frac{C}{x}\]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(u=\dfrac{C}{x}\).

Считая постоянную \(C\) функцией от \(x\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(u'=C'\dfrac{1}{x}- C\dfrac{1}{x^2}\), то:
\[-C'\dfrac{1}{x}+ C\dfrac{1}{x^2} -\frac{C}{x^2}=-\frac{1}{x}\]
\[-C'\dfrac{1}{x}=-\frac{1}{x}\]
\[C'=1\]
\[C=\int dx =x+C_1\]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[u=\dfrac{C}{x}=\dfrac{x+C_1}{x}\]

Проведем обратные замены. Так как \(u=1/z\) и \(y=x+z\):
\[\frac{1}{z}=\dfrac{x+C_1}{x}\]
\[z=\dfrac{x}{x+C_1}\]
\[y-x=\dfrac{x}{x+C_1}\]
\[y=x+\dfrac{x}{x+C_1}\]

Таким образом, решение исходного уравнения:
\[y=x+\dfrac{x}{x+C_1}.\]