Задача 163. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

С помощью замены переменных или дифференцирования привести уравнение к линейному и решить его: $x\left(e^{y}-y^{\prime}\right)=2$.

Решение
Произведем замену $z=e^y$. Тогда:
$$z'=e^yy'$$
Получаем:
$$x(z-\frac{z'}{z})=2$$
$$z-\frac{z'}{z}=\frac{2}{x}$$
$$z'+\frac{2z}{x}=z^2$$

Уравнение является уравнением Бернулли ($n=2$). Для решения уравнения Бернулли необходимо обе его части разделить на $z^n$ и сделать замену $1/z^{n-1}=u$.
Разделим уравнение на $z^{2}$:
$$\frac{z'}{z^2}+\dfrac{2}{xz}=1$$
Произведем замену $u=1/z$:
Так как $u'=-\dfrac{1}{z^2}z'$, то:
$$z'=-z^2u'$$
Получаем:
$$-u'+\frac{2u}{x}=1$$
$$u'-\frac{2u}{x}=-1$$

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Найдем решение однородного уравнения:
$$u'-\frac{2u}{x}=0$$
Разделим переменные:
$$\frac{du}{u}=2 \frac{dx}{x}$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{du}{u}=2\int \frac{dx}{x}$$
$$\ln |u|=2\ln |x|+\ln C$$
$$u=Cx^2$$
Таким образом, решение однородного уравнения: $u=Cx^2$.

Считая постоянную $C$ функцией от $x$, подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как $u'=C'x^2+2Cx$, то:
$$C'x^2+2Cx-\frac{2Cx^2}{x}=-1$$
$$C'=-\frac{1}{x^2}$$
$$C=\frac{1}{x}+C_1$$
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
$$u=Cx^2=\left( \frac{1}{x}+C_1 \right) x^2=C_1x^2+x$$

Произведем обратную замену. Так как $u=1/z$ и $z=e^y$:
$$\frac{1}{z}=C_1x^2+x$$
$$\frac{1}{e^y}=C_1x^2+x$$
Таким образом, решение исходного уравнения:
$$e^{-y}=C_1x^2+x.$$