Задача 163. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

С помощью замены переменных или дифференцирования привести уравнение к линейному и решить его: \(x\left(e^{y}-y^{\prime}\right)=2\).

Решение
Произведем замену \(z=e^y\). Тогда:
\[z'=e^yy'\]
Получаем:
\[x(z-\frac{z'}{z})=2\]
\[z-\frac{z'}{z}=\frac{2}{x}\]
\[z'+\frac{2z}{x}=z^2\]

Уравнение является уравнением Бернулли (\(n=2\)). Для решения уравнения Бернулли необходимо обе его части разделить на \(z^n\) и сделать замену \(1/z^{n-1}=u\).
Разделим уравнение на \(z^{2}\):
\[\frac{z'}{z^2}+\dfrac{2}{xz}=1\]
Произведем замену \(u=1/z\):
Так как \(u'=-\dfrac{1}{z^2}z'\), то:
\[z'=-z^2u'\]
Получаем:
\[-u'+\frac{2u}{x}=1\]
\[u'-\frac{2u}{x}=-1\]

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Найдем решение однородного уравнения:
\[u'-\frac{2u}{x}=0\]
Разделим переменные:
\[\frac{du}{u}=2 \frac{dx}{x} \]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{du}{u}=2\int \frac{dx}{x} \]
\[\ln |u|=2\ln |x|+\ln C\]
\[u=Cx^2\]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(u=Cx^2\).

Считая постоянную \(C\) функцией от \(x\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(u'=C'x^2+2Cx\), то:
\[C'x^2+2Cx-\frac{2Cx^2}{x}=-1\]
\[C'=-\frac{1}{x^2}\]
\[C=\frac{1}{x}+C_1\]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[u=Cx^2=\left( \frac{1}{x}+C_1 \right) x^2=C_1x^2+x\]

Произведем обратную замену. Так как \(u=1/z\) и \(z=e^y\):
\[\frac{1}{z}=C_1x^2+x\]
\[\frac{1}{e^y}=C_1x^2+x\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[e^{-y}=C_1x^2+x.\]