Задача 162. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

С помощью замены переменных или дифференцирования привести уравнение к линейному и решить его: $(x+1)\left(y y^{\prime}-1\right)=y^{2}$.

Решение
Произведем замену $z=y^2$. Тогда:
$$z'=2yy'$$
Получаем:
$$(x+1)(\frac{z'}{2}-1)=z$$
$$z'-2=\frac{2z}{x+1}$$
$$z'-\frac{2z}{x+1}=2$$

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Найдем решение однородного уравнения:
$$z'-\frac{2z}{x+1}=0$$
Разделим переменные:
$$\frac{dz}{z}=2 \frac{dx}{x+1}$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{dz}{z}=2 \int \frac{dx}{x+1}$$
$$\ln |z|=2\ln|x+1|+\ln C$$
$$z=C(x+1)^2$$
Таким образом, решение однородного уравнения: $z=C(x+1)^2$.

Считая постоянную $C$ функцией от $x$, подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как $z'=C'(x+1)^2+2C(x+1)$, то:
$$C'(x+1)^2+2C(x+1)-\frac{2C(x+1)^2}{x+1}=2$$
$$C'(x+1)^2=2$$
$$C'=\frac{2}{(x+1)^2}$$
$$C=\int\frac{2}{(x+1)^2}=-\frac{2}{x+1}+C_1$$

Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
$$z=C(x+1)^2=\left(-\frac{2}{x+1}+C_1 \right)(x+1)^2=-2(x+1)+C_1(x+1)^2$$
Произведем обратную замену. Так как $z=y^2$:
$$y^2=-2(x+1)+C_1(x+1)^2$$
Таким образом, решение исходного уравнения:
$$y^2=-2(x+1)+C_1(x+1)^2.$$