Задача 161. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

С помощью замены переменных или дифференцирования привести уравнение к линейному и решить его: $x \ dx=\left(x^{2}-2 y+1\right) \ dy$.

Решение
Произведем замену:
$$z=x^2+1$$
Тогда:
$$dz=2x \ dx$$
Получаем:
$$\frac{1}{2}dz=(z-2y) \ dy$$
$$z'=2z-4y$$
$$z'-2z=-4y$$

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Найдем решение однородного уравнения:
$$z'-2z=0$$
Разделим переменные:
$$\frac{dz}{z}=2 \ dy$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{dz}{z}=2 \int dy$$
$$\ln|z|=2y+\ln C$$
$$z=Ce^{2y}$$
Таким образом, решение однородного уравнения: $z=Ce^{2y}$.

Считая постоянную $C$ функцией от $y$, подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как $z'=C'e^{2y}+2Ce^{2y}$, то:
$$C'e^{2y}+2Ce^{2y}-2Ce^{2y}=-4y$$
$$C'e^{2y}=-4y$$
$$C'=-4ye^{-2y}$$
$$C=-4\int ye^{-2y} \ dy$$

Найдем интеграл воспользовавшись формулой интегрирования по частям.
$$C=-4\int ye^{-2y} \ dy=\\ =2\int y \ d(e^{-2y})=2y e^{-2y}- 2\int e^{-2y}\ dy =2y e^{-2y}+e^{-2y}+C_1$$

Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
$$z=Ce^{2y}=(2y e^{-2y}+e^{-2y}+C_1)e^{2y}=2y+1+C_1e^{2y}$$
Произведем обратную замену. Так как $z=x^2+1$:
$$x^2+1=2y+1+C_1e^{2y}$$
$$x^2=2y+C_1e^{2y}$$
Таким образом, решение исходного уравнения:
$$x^2=2y+C_1e^{2y}.$$