Задача 160. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение $\left(2 x^{2} y \ln y-x\right) y^{\prime}=y$.

Решение
Уравнение не является линейным относительно переменной $y$ (и не может быть преобразовано к линейному виду относительно переменной $y$). Преобразуем уравнение, считая $x$ функцией от $y$.
$$\left(2 x^{2} y \ln y-x\right) \frac{dy}{dx}=y$$
$$\left(2 x^{2} y \ln y-x\right) =y\frac{dx}{dy}$$
$$\frac{dx}{dy}+\frac{x}{y}=2 x^{2} \ln y$$
$$x'+\frac{x}{y}=2 x^{2} \ln y$$

Уравнение является уравнением Бернулли ($n=2$). Для решения уравнения Бернулли необходимо обе его части разделить на $x^n$ и сделать замену $1/x^{n-1}=z$.

Разделим уравнение на $x^{2}$:
$$\frac{x'}{x^2}+\frac{1}{yx}=2 \ln y$$
Произведем замену $z=1/x$:
Так как $z'=-\dfrac{1}{x^2}x'$, то:
$$x'=-x^2z'$$
Получаем:
$$-z'+\dfrac{z}{y}=2 \ln y$$
$$z'-\dfrac{z}{y}=-2 \ln y$$

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Найдем решение однородного уравнения:
$$z'-\dfrac{z}{y}=0$$
Разделим переменные:
$$\frac{dz}{z}=\frac{dy}{y}$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int\frac{dz}{z}=-\int\frac{dy}{y}$$
$$\ln|z|=\ln |y|+\ln C$$
$$z=Cy$$
Таким образом, решение однородного уравнения: $z=Cy$.

Считая постоянную $C$ функцией от $y$, подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как $z'=C'y+C$, то:
$$C'y+C-\dfrac{Cy}{y}=-2 \ln y$$
$$C'y=-2 \ln y$$
$$C'=-2\frac{\ln y}{y}$$
$$C=-2\int\frac{\ln y}{y}dy= -2\int\ln y \ d(\ln y)=-\ln^2 y+C_1$$
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
$$z=Cy=(-\ln^2 y+C_1)y$$
Произведем обратную замену. Так как $z=1/x$:
$$\frac{1}{x}=(-\ln^2 y+C_1)y$$
$$(C_1-\ln^2 y)xy=1$$

Таким образом, решение исходного уравнения:
$$(C_1-\ln^2 y)xy=1.$$