Дифуры: Задача 159. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение

$y^{\prime} x^{3} \sin y=x y^{\prime}-2 y$ .

Решение
Уравнение не является линейным относительно переменной

$y$ (и не может быть преобразовано к линейному виду относительно переменной

$y$ ). Преобразуем уравнение, считая

$x$ функцией от

$y$ .

$\frac{dy}{dx} x^{3} \sin y=x\frac{dy}{dx}-2 y$

$2y=\frac{dy}{dx}(x-x^3\sin y)$

$\frac{dx}{dy}=\frac{x-x^3\sin y}{2y}$

$x'-\frac{x}{2y}=-\frac{x^3\sin y}{2y}$

При преобразовании могло быть потеряно решение

$y=0$ . Очевидно,

$y=0$ является решением.
Уравнение является уравнением Бернулли (

$n=3$ ). Для решения уравнения Бернулли необходимо обе его части разделить на

$x^n$ и сделать замену

$1/x^{n-1}=z$ .

Разделим уравнение на

$x^{3}$ :

$\frac{x'}{x^3}-\frac{1}{2yx^2}=-\frac{\sin y}{2y}$
Произведем замену

$z=1/x^{2}$ :
Так как

$z'=-\dfrac{2}{x^3}x'$ , то:

$x'=-\frac{1}{2}z'x^3$
Получаем:

$-\frac{1}{2}z'-\dfrac{z}{2y}=-\frac{\sin y}{2y}$

$z'+\dfrac{z}{y}=\frac{\sin y}{y}$

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Найдем решение однородного уравнения:

$z'+\dfrac{z}{y}=0$
Разделим переменные:

$\frac{dz}{z}=-\frac{dy}{y}$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:

$\int\frac{dz}{z}=-\int\frac{dy}{y}$

$\ln|z|=-\ln |y|+\ln C$

$z=\frac{C}{y}$
Таким образом, решение однородного уравнения:

$z=\dfrac{C}{y}$ .

Считая постоянную

$C$ функцией от

$y$ , подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как

$z'=C'\dfrac{1}{y}-C\dfrac{1}{y^2}$ , то:

$C'\dfrac{1}{y}-C\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{C}{y}\dfrac{1}{y}=\frac{\sin y}{y}$

$C'\dfrac{1}{y}=\frac{\sin y}{y}$

$C'=\sin y$

$C=\int\sin y \ dy=-\cos y +C_1$
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:

$z=\dfrac{C}{y}=\dfrac{-\cos y +C_1}{y}$
Произведем обратную замену. Так как

$z=1/x^{2}$ :

$\frac{1}{x^2}=\dfrac{-\cos y +C_1}{y}$

$y=x^2(C_1-\cos y)$

Таким образом, решение исходного уравнения:

$y=x^2(C_1-\cos y); \ y=0.$

Дифуры