Задача 211. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: $(2x^2y^2+y) \ dx+(x^3y-x) \ dy=0$.

Решение

Запишем уравнение в виде:

$$xy(2xy \ dx+x^2 \ dy)+y \ dx- x \ dy=0$$

Так как $d(x^2y)=2xy \ dx+x^2 \ dy$, получаем:

$$xy \ d(x^2y)+y \ dx- x \ dy=0$$

Разделив на $xy$ ($x=0$ и $y=0$ являются решениями), получим:

$$d(x^2y)+\frac{1}{x}\ dx- \frac{1}{y} \ dy=0$$

$$d\left(x^2y +\ln|x|-\ln |y|\right)=0$$

Это уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Соответственно, получаем решение этого уравнения:

$$x^2y +\ln|x|-\ln |y|=C$$

Таким образом, решение исходного уравнения:

$$x^2y +\ln|x|-\ln |y|=C; \ x=0; \ y=0.$$