Задача 211. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: \((2x^2y^2+y) \ dx+(x^3y-x) \ dy=0\).

Решение

Запишем уравнение в виде:

\[xy(2xy \ dx+x^2 \ dy)+y \ dx- x \ dy=0\]

Так как \(d(x^2y)=2xy \ dx+x^2 \ dy\), получаем:

\[xy \ d(x^2y)+y \ dx- x \ dy=0\]

Разделив на \(xy\) (\(x=0\) и \(y=0\) являются решениями), получим:

\[ d(x^2y)+\frac{1}{x}\ dx- \frac{1}{y} \ dy=0\]

\[ d\left(x^2y +\ln|x|-\ln |y|\right)=0\]

Это уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Соответственно, получаем решение этого уравнения:

\[x^2y +\ln|x|-\ln |y|=C\]

Таким образом, решение исходного уравнения:

\[x^2y +\ln|x|-\ln |y|=C; \ x=0; \ y=0.\]