Задача 212. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: $(2x^2y^3-1)y \ dx+(4x^2y^3-1)x \ dy=0$.

Решение

Запишем уравнение в виде:

$$2x^2y^4 \ dx+4x^3y^3 \ dy- (y \ dx+x \ dy)=0$$

$$2x^2y^2(y^2 \ dx+2xy \ dy)- (y \ dx+x \ dy)=0$$

Так как $d(xy^2)=y^2\ dx+2xy \ dy$, получаем:

$$2x^2y^2d(xy^2)- d(xy)=0$$

Произведем замену $u=xy^2; \ v=xy$:

$$2v^2 \ du-dv=0$$

Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, получим:

$$2v^2 \ du=dv$$

$$2\ du= \frac{1}{v^2} dv$$

$$2\int \ du=\int \frac{1}{v^2} dv$$

$$2u=-\frac{1}{v}+C$$

При делении могли быть потеряны решения $x=0$ и $y=0$. Очевидно, $x=0$ и $y=0$ являются решениями.

Произведем обратную замену $u=xy^2; \ v=xy$:

$$2xy^2=-\frac{1}{xy}+C$$

Таким образом, решение исходного уравнения:

$$2xy^2+\frac{1}{xy}=C; \ x=0; \ y=0.$$