Задача 212. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: \((2x^2y^3-1)y \ dx+(4x^2y^3-1)x \ dy=0\).

Решение

Запишем уравнение в виде:

\[2x^2y^4 \ dx+4x^3y^3 \ dy- (y \ dx+x \ dy)=0\]

\[2x^2y^2(y^2 \ dx+2xy \ dy)- (y \ dx+x \ dy)=0\]

Так как \(d(xy^2)=y^2\ dx+2xy \ dy\), получаем:

\[2x^2y^2d(xy^2)- d(xy)=0\]

Произведем замену \(u=xy^2; \ v=xy\):

\[2v^2 \ du-dv=0\]

Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, получим:

\[2v^2 \ du=dv\]

\[2\ du= \frac{1}{v^2} dv\]

\[2\int \ du=\int \frac{1}{v^2} dv\]

\[2u=-\frac{1}{v}+C\]

При делении могли быть потеряны решения \(x=0\) и \(y=0\). Очевидно, \(x=0\) и \(y=0\) являются решениями.

Произведем обратную замену \(u=xy^2; \ v=xy\):

\[2xy^2=-\frac{1}{xy}+C\]

Таким образом, решение исходного уравнения:

\[2xy^2+\frac{1}{xy}=C; \ x=0; \ y=0.\]