Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: \(y(x+y^2)\ dx+x^2(y-1) \ dy=0\).
Решение
Запишем уравнение в виде:
\[x(y \ dx-x \ dy)+y^3 \ dx+x^2y \ dy=0\]
Разделим на \(y^2x\) (\(y=0\) является решением):
\[\frac{y \ dx-x \ dy}{y^2}+\frac{y}{x} \ dx+\frac{x}{y} \ dy=0\]
\[ \ d\left(\frac{x}{y}\right)+\frac{y}{x} \ dx+\frac{x}{y} \ dy=0\]
Произведем замену: \(u=\dfrac{x}{y}\), \(x=uy\), \(dx=u \ dy+y\ du\).
\[du+\frac{1}{u}(u \ dy+y\ du)+u dy=0\]
Умножаем на \(u\):
\[u \ du +u \ dy+y \ du+u^2 \ dy=0\]
\[(u +y )\ du +(u +u^2) \ dy=0\]
Дальнейшие преобразования к результату не приводят, попробуем найти интегрирующий множитель.
\[M(u,y) =u+y , \ N(u,y)=u+u^2\]
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(u+y)=1\]
\[\frac{\partial N}{\partial u}=\frac{\partial}{\partial u}(u+u^2)=1+2u\]
Проверим, существует ли интегрирующий множитель вида \(\mu(u)\):
\[Q=\dfrac{\dfrac{\partial M}{\partial y}-\dfrac{\partial N}{\partial u}}{N}=-\frac{2u}{u+u^2}=-\frac{2}{1+u}\]
Так как \(Q\) является функцией только от \(u\), интегрирующий множитель вида \(\mu(u)\) существует и равен:
\[\mu=e^{\int Q du}\]
\[\int Q du=-\int \frac{2}{1+u} du=-2\ln|u+1|\]
\[\mu=e^{-2\ln|u+1|}=\frac{1}{(u+1)^2}\]
Умножим уравнение \((u +y )\ du +(u +u^2) \ dy=0\) на интегрирующий множитель \(\mu\). При делении на \((u+1)^2\) могло быть потеряно решение \(u+1=0\), то есть решение \(y=-x\). Очевидно, \(y=-x\) является решением.
\[\frac{u+y}{(u+1)^2} \ du+\frac{u}{u+1} \ dy=0\]
\[M(u,y) =\frac{u+y}{(u+1)^2}, \ N(u,y)=\frac{u}{u+1} \]
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{u+y}{(u+1)^2}\right)=\frac{1}{(u+1)^2}\]
\[\frac{\partial N}{\partial u}=\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u}{u+1} \right)=\frac{1}{(u+1)^2}\]
Получаем \(\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial u}\), следовательно уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Найдем функцию \(F(u,y)\), полный дифференциал которой \(dF(u,y) = F'_u \ du + F'_y \ dy\) был бы равен левой части уравнения, то есть такую функцию \(F(u,y)\), что:
\[F'_u=\frac{u+y}{(u+1)^2} , \ F'_y=\frac{u}{u+1} \]
Интегрируем \(F'_u\) по \(u\), считая \(y\) постоянным:
\[F=\int \frac{u+y}{(u+1)^2}\ du=\ln|u+1|-\frac{y-1}{u+1}+f(y)\]
Где \(f(y)\) — неизвестная функция от \(y\).
Дифференцируем полученное выражение для \(F\) по \(y\) :
\[F'_y=\left(\ln|u+1|-\frac{y-1}{u+1}+f(y)\right)'_y=-\frac{1}{u+1}+f'(y)\]
Так как \(F'_y=\dfrac{u}{u+1}\), получаем:
\[-\frac{1}{u+1}+f'(y)=\frac{u}{u+1}\]
\[f'(y)=1\]
\[f(y)=y+const\]
Получаем \(F(x,y)=\ln|u+1|-\dfrac{y-1}{u+1}+y\), и общее решение исходного уравнения имеет вид:
\[\ln|u+1|-\dfrac{y-1}{u+1}+y=C\]
Проведем обратную замену \(u=\dfrac{x}{y}\):
\[\ln|\dfrac{x}{y}+1|-\dfrac{y-1}{\dfrac{x}{y}+1}+y=C\]
\[\ln\left|\dfrac{x+y}{y}\right|-\dfrac{y(y-1)}{x+y}+\frac{y(x+y)}{x+y}=C\]
\[\ln\left|\dfrac{x+y}{y}\right|+\frac{y(x+1)}{x+y}=C\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[\ln\left|\dfrac{x+y}{y}\right|+\frac{y(x+1)}{x+y}=C; \ y=0; \ y=-x.\]
Комментариев нет:
Отправить комментарий