Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Задача 213. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: y(x+y2) dx+x2(y1) dy=0.

Решение
Запишем уравнение в виде:
x(y dxx dy)+y3 dx+x2y dy=0
Разделим на y2x (y=0 является решением):
y dxx dyy2+yx dx+xy dy=0
 d(xy)+yx dx+xy dy=0
Произведем замену: u=xy, x=uy, dx=u dy+y du.
du+1u(u dy+y du)+udy=0
Умножаем на u:
u du+u dy+y du+u2 dy=0
(u+y) du+(u+u2) dy=0

Дальнейшие преобразования к результату не приводят, попробуем найти интегрирующий множитель.
M(u,y)=u+y, N(u,y)=u+u2
My=y(u+y)=1
Nu=u(u+u2)=1+2u

Проверим, существует ли интегрирующий множитель вида μ(u):
Q=MyNuN=2uu+u2=21+u

Так как Q является функцией только от u, интегрирующий множитель вида μ(u) существует и равен:
μ=eQdu
Qdu=21+udu=2ln|u+1|
μ=e2ln|u+1|=1(u+1)2

Умножим уравнение (u+y) du+(u+u2) dy=0 на интегрирующий множитель μ. При делении на (u+1)2 могло быть потеряно решение u+1=0, то есть решение y=x. Очевидно, y=x является решением.
u+y(u+1)2 du+uu+1 dy=0
M(u,y)=u+y(u+1)2, N(u,y)=uu+1
My=y(u+y(u+1)2)=1(u+1)2
Nu=u(uu+1)=1(u+1)2

Получаем My=Nu, следовательно уравнение является уравнением в полных дифференциалах. 
Найдем функцию F(u,y), полный дифференциал которой dF(u,y)=Fu du+Fy dy был бы равен левой части уравнения, то есть такую функцию F(u,y), что:
Fu=u+y(u+1)2, Fy=uu+1
Интегрируем Fu по u, считая y постоянным:
F=u+y(u+1)2 du=ln|u+1|y1u+1+f(y)
Где f(y) — неизвестная функция от y
Дифференцируем полученное выражение для F по y :
Fy=(ln|u+1|y1u+1+f(y))y=1u+1+f(y)
Так как Fy=uu+1, получаем:
1u+1+f(y)=uu+1
f(y)=1
f(y)=y+const

Получаем F(x,y)=ln|u+1|y1u+1+y, и общее решение исходного уравнения имеет вид:
ln|u+1|y1u+1+y=C

Проведем обратную замену u=xy:
ln|xy+1|y1xy+1+y=C
ln|x+yy|y(y1)x+y+y(x+y)x+y=C
ln|x+yy|+y(x+1)x+y=C

Таким образом, решение исходного уравнения:
ln|x+yy|+y(x+1)x+y=C; y=0; y=x.

Комментариев нет:

Отправить комментарий