Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: y(x+y2) dx+x2(y−1) dy=0.
Решение
Запишем уравнение в виде:
x(y dx−x dy)+y3 dx+x2y dy=0
Разделим на y2x (y=0 является решением):
y dx−x dyy2+yx dx+xy dy=0
d(xy)+yx dx+xy dy=0
Произведем замену: u=xy, x=uy, dx=u dy+y du.
du+1u(u dy+y du)+udy=0
Умножаем на u:
u du+u dy+y du+u2 dy=0
(u+y) du+(u+u2) dy=0
Дальнейшие преобразования к результату не приводят, попробуем найти интегрирующий множитель.
M(u,y)=u+y, N(u,y)=u+u2
∂M∂y=∂∂y(u+y)=1
∂N∂u=∂∂u(u+u2)=1+2u
Проверим, существует ли интегрирующий множитель вида μ(u):
Q=∂M∂y−∂N∂uN=−2uu+u2=−21+u
Так как Q является функцией только от u, интегрирующий множитель вида μ(u) существует и равен:
μ=e∫Qdu
∫Qdu=−∫21+udu=−2ln|u+1|
μ=e−2ln|u+1|=1(u+1)2
Умножим уравнение (u+y) du+(u+u2) dy=0 на интегрирующий множитель μ. При делении на (u+1)2 могло быть потеряно решение u+1=0, то есть решение y=−x. Очевидно, y=−x является решением.
u+y(u+1)2 du+uu+1 dy=0
M(u,y)=u+y(u+1)2, N(u,y)=uu+1
∂M∂y=∂∂y(u+y(u+1)2)=1(u+1)2
∂N∂u=∂∂u(uu+1)=1(u+1)2
Получаем ∂M∂y=∂N∂u, следовательно уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Найдем функцию F(u,y), полный дифференциал которой dF(u,y)=F′u du+F′y dy был бы равен левой части уравнения, то есть такую функцию F(u,y), что:
F′u=u+y(u+1)2, F′y=uu+1
Интегрируем F′u по u, считая y постоянным:
F=∫u+y(u+1)2 du=ln|u+1|−y−1u+1+f(y)
Где f(y) — неизвестная функция от y.
Дифференцируем полученное выражение для F по y :
F′y=(ln|u+1|−y−1u+1+f(y))′y=−1u+1+f′(y)
Так как F′y=uu+1, получаем:
−1u+1+f′(y)=uu+1
f′(y)=1
f(y)=y+const
Получаем F(x,y)=ln|u+1|−y−1u+1+y, и общее решение исходного уравнения имеет вид:
ln|u+1|−y−1u+1+y=C
Проведем обратную замену u=xy:
ln|xy+1|−y−1xy+1+y=C
ln|x+yy|−y(y−1)x+y+y(x+y)x+y=C
ln|x+yy|+y(x+1)x+y=C
Таким образом, решение исходного уравнения:
ln|x+yy|+y(x+1)x+y=C; y=0; y=−x.
Комментариев нет:
Отправить комментарий